§ 3. Метод Фурье

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из основных методов решения уравнений с частными производными. Изложим суть метода на примере задачи о колебании струны длины , закрепленной на концах.

Колебания струны описываются уравнением

(1)

граничные условия

(2)

начальные условия

(3)

Решение ищем в виде произведения , гдефункция переменного,- функция переменного. Подставивв (1) и поделив наполучим равенство, где точками обозначена вторая производная по, штрихами – вторая производная по. Левая часть этого равенства зависит только от, правая – только от. Для того, чтобы равенство выполнялось тождественно для всехи, потребуем, чтобы каждая из его частей была постоянной. Обозначим эту постоянную через. Получим обыкновенные дифференциальные уравнения

, (4)

(5)

с граничными условиями

.

Отсюда следует, что .

Граничная задача отыскания нетривиального решения уравнения

(6)

и тех значений параметра , при которых это решение существует, называется задачей Штурма – Лиувилля, числа- собственными числами (собственными значениями), решения – собственными функциями задачи.

Рассмотрим все возможные случаи.

1) Если , тои из граничных условий следует, что, т.е..

2) Если , то. Поэтому. Граничные условия снова приводят к равенствами.

3) Если , то. Граничные условия дают равенства;. Так как, то. Следовательно, откуда(- любое натуральное число). Таким образом, ненулевые решения возможны только при. Этим собственным числам отвечают собственные функции

Подставив найденные числа в (5), получим набор решений уравнения (5)

(7)

с произвольными постоянными и .

Возвращаясь к задаче (1) – (3) заключаем, что функции

(8)

являются частными решениями уравнения (1) и удовлетворяют граничным условиям (2). Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому формальная сумма частных решений

(9)

также (формально) удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2). Остается подобрать коэффициенты итак, чтобы функция (9) удовлетворяла начальным условиям (3). Формально подставив (9) в (3), получим систему

(10)

Из теории рядов Фурье известно ([5], гл.VII, § 11), что в силу теоремы Дирихле кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная на отрезке, раскладывается в ряд Фурье

Полагая, что функции иэтим условиям удовлетворяют, получим

(11)

(12)

Подставив (11) и (12) в (10) и используя условие равенства двух тригонометрических рядов, получим ,. Таким образом, функция

(13)

дает формальное решение задачи (1) - (3).

Замечание 1. Формальное решение (13) становится "настоящим" решением, если ряд (13) и ряды для производных , полученные из (13) почленным дифференцированием, сходятся. В [13, 22] доказано, что для этого достаточно, чтобы функции,ибыли непрерывными, функциии- кусочно-непрерывными и. Эти условия не являются необходимыми и связаны только с выбранным методом решения. При решении задачи методом Даламбера (§ 2) и операционным методом (§ 5) условия, накладываемые на функциии, менее ограничительные.

Замечание 2. Решение задачи о колебании струны, записанное в форме тригонометрического ряда (13), позволяет проанализировать физические свойства этого процесса.

Запишем решение (13) в виде

где ,. Отсюда видно, что колебание струны слагается из отдельных гармонических колебаний

причем колебание каждой точки происходит с одной и той же амплитудойи частотой. Такое движение струны называетсястоячей волной. Точки , в которых амплитуда равна нулю, остаются неподвижными и называютсяузлами стоячей волны . Точки, в которыхи амплитудамаксимальная, называютпучностями стоячей волны (рис. 9). Частоты называютсобственными частотами колебаний струны.

Легко подсчитать энергию - й гармоники (- й стоячей волны):

(- масса струны,- постоянная плотность,).

Звук, издаваемый колеблющейся струной, является "смесью" звуков, соответствующих стоячим волнам.Тон, или высота, и сила звука зависят от частоты и амплитуды колебаний. Самый низкий тон определяется собственной частотой и называетсяосновным тоном струны. Остальные тона, соответствующие частотам , кратным, называютсяобертонами и характеризуют "окраску" звука, его тембр. Энергия основного тона, вообще говоря, больше энергии других тонов. Она зависит от начальных условий (3), чем широко пользуются при проектировании музыкальных инструментов.

Подробнее с теорией звука можно познакомиться по книгам [24, 25].

Задача 1. Методом Фурье решить неоднородное уравнение колебаний струны с начальными и краевыми условиями (2), (3).

Задача 2. Найти решение задачи (1) – (3) в виде ряда Фурье по произвольной полной ортонормированной на системе функций.

Метод Фурье применим не только к уравнениям второго порядка.

Задача 3. Методом Фурье решить уравнение поперечных колебаний стержня с граничными условиями,,и начальными условиями,.