5.1. Биномиальное распределение.

Говорят, что дискретная с.в. X имеет биномиальное распределение, если её возможные значения: 0,1,…,m,…,n, а соответствующие вероятности:

(5.1.1)

где

0p1; q=1-p; m=0.1,…,n.

Распределение (5.1.1) зависит от двух параметров n и p.

Итак, для с.в. X, распределённой по биномиальному закону с параметрами n, p,

m_x=np, D_x=npq, _x= . (5.1.10)

Эти выражения полезно запомнить.

5.2. Распределение Пуассона.

Говорят, что с.в. X имеет распределение Пуассона, если её возможные значения: 0, 1, 2,…, m,…(бесконечное, но счётное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой

(m=0,1,2,…). (5.2.1)

Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.

Закон Пуассона (5.2.1) зависит от одного параметра a, смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией с.в. X, распределённой по закону Пуассона.

Параметр a пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии с.в. X, имеющей это распределение. Найдём с.к.о.:

(5.2.4)

Коэффициент вариации для с.в. X, распределённой по закону Пуассона, равен

(5.2.5)

и стремится к нулю при увеличении a.

Многоугольники распределения для с.в. X, распределённой по закону Пуассона с параметрами a=0,5; a=1,0; a=2; a=3,5 показаны на рис. 5.2.1.

В своё время «классическим» примером случайной величины X, распределённой по закону Пуассона, приводившимся во многих учебниках, было «число солдат-кавалеристов, убитых за год ударом копыта лошади». Число опытов n здесь – число встреч солдат-кавалеристов с лошадью, а p – вероятность того, что встреча закончиться столь плачевно. Статистические данные показали хорошее совпадение распределения с.в. Х с пуассоновским. В настоящее время этот пример, по понятным причинам, потерял свою актуальность. Однако и в наше время есть задачи, где распределением Пуассона можно пользоваться вместо биномиального. Например, если речь идёт о многократном применении технического устройства высокой надёжности, такой, что вероятность отказа при одном применении очень мала.

Помимо этого «предельного» случая возникновения пуассоновского распределения, на практике встречается ряд ситуаций, где это распределение имеет место.

Рассмотрим, например, такую задачу. Пусть на оси времени 0t случайным образом возникают точки – моменты появления каких-то однородных событий (например, вызовов на телефонной станции, приходов посетителей в магазин, поступлений информации в АСУ и т.п.). Последовательность таких моментов обычно называют «потоком событий». Предположим, что поток обладает следующими свойствами.

1. Стационарность .Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длины  не зависит то того, где на оси 0t расположен это участок, а зависит только от его длины . Из этого следует, что среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его  и будем называть интенсивностью потока.

2.Ординарность. Грубо говоря, это свойство означает, что события возникают поодиночке, а не группами по два, по три и т.д. Точнее, ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события (при t0 вероятность попадания на участок t более чем одного события – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него же равно одного события).

3.Отсутствие последействия. Это свойство означает, что вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси 0t не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним участок (в частности, «будущее» потока не зависит от его прошлого; отсюда и термин «отсутствия последействия»). Эта независимость физически сводится к тому, что события появляются на оси времени в силу случайных причин, индивидуальных для каждого из них.

Поток событий, обладающий этими тремя свойствами – стационарностью, ординарностью и отсутствием последствия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.