1.7.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

В некоторых случаях линию пересечения поверхностей второго порядка можно построить, не пользуясь секущими плоскостями и поверхностями. Просто надо уметь распознавать эти случаи. Условия, при которых это возможно, изложены в теоремах, приведенных ниже. Прежде чем их формулировать, отметим, что порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей равен произведению порядков поверхностей.

Таким образом, линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвертого порядка, или биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая может распадаться:

4 = 1+1+1+1 – на четыре линии первого порядка (четыре прямые);

4 = 2+1+1 – на кривую второго порядка в две прямые;

4 = 3+1 – на кривую третьего порядка и прямую;

4 = 2+2 – на две кривые второго порядка.

Особый интерес представляет случай ее распадения на пару плоских кривых второго порядка. Условия распадения биквадратной кривой второго порядка формулируются ниже приведенными теоремами.

Т

Рис. 1.76

еорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной кривой, которая тоже является плоской.

На рис. 1.76 изображены фронтальные проекции двух поверхностей – сферы и конуса – с общим основанием AB, которое одновременно является линией их пересечения. Вторая линия пересечения поверхностей в соответствии с теоремой 1 тоже должна быть плоской. В этом примере AB и CD – окружности.

Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис. 1.77 показан пример, который иллюстрирует эту теорему. Сфера и эллиптический конус имеют две точки касания M и N. Следовательно, эти поверхности пересекутся по плоским кривым AB и CD. В данном случае линии AB и CD – окружности, т. к. они являются плоскими кривыми, принадлежащими сфере.

Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то линии их пересечения распадаются на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямые, которые соединяют точки пересечения линий качания.

Н

Рис. 1.77

Рис. 1.78

а рис. 1.78 изображены конус и цилиндр, которые описаны вокруг одной и той же сферы с центром в точке О.

Линией касания конической поверхности и сферы является окружность 1 – 2, а цилиндрической поверхности и сферы – окружность 3 – 4. Эти линии пересекаются в точках M и N. В этом примере линия пересечения поверхностей распадается на пару эллипсов АВ и CD, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых А₂В₂ и C₂D₂.

На рис. 1.76 – 1.78, иллюстрирующих теоремы о распадении биквадратной кривой на плоские кривые эти кривые, изображаются в виде отрезков прямых. Ответ на вопрос, почему это происходит, дает следующая теорема.

Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линии их пересечения проецируются на эту плоскость в линию, порядок которой в два раза меньше.

Линии AB и CD (рис. 1.76 – 1.78) являются линиями второго порядка, на фронтальных плоскостях проекций они изображаются в виде прямых потому, что поверхности, их образующие, имеют общую плоскость симметрии, параллельную П₂ (рис. 1.76), П₃ (рис. 1.77), П₂ (рис. 1.78).