1.8.2. Плоскопараллельное перемещение объекта

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем перемещения геометрического объекта в новое положение таким образом, чтобы траектории перемещения его точек находились в параллельных между собой плоскостях.

Н

Рис. 1.86

а рис. 1.87 показан пример перемещения прямой АВ, когда ее точки А и В перемещают в горизонтальных плоскостях уровня соответственно Ψ и Λ. При решении практических задач важным является только результат движения, а не сам процесс непрерывного изменения положения объекта в пространстве.

И

Рис. 1.87

з равенства прямоугольных треугольников АВВ_Λ и А¹В¹В¹_Λ следует, что АВ_Λ=А¹В¹_Λ. Кроме того, АВ_Λ= А₁ В₁ и А¹В¹_Λ= АВ, следовательно, горизонтальная проекция отрезка АВ при плоскопараллельном перемещении его точек А и В не меняется по величине АВ= А₁ В₁.

Аналогично при перемещении, параллельном фронтальной плоскости проекций П₂, расстояние между фронтальными проекциями любой пары точек любого объекта остается постоянным.

На рис. 1.88 показано решение задачи преобразования прямой общего положения, заданной отрезком АВ, в проецирующую прямую. Перемещая точки А и В заданного отрезка прямой в горизонтальных плоскостях уровня Ψ и Λ, добиваемся, чтобы прямая АВ стала прямой уровня А¹В¹. Затем перемещением отрезка АВ по фронтальной плоскости уровня Σ получаем новое положение исходного отрезка в виде проецирующей прямой А¹¹В¹¹.

Как и при способе замены плоскостей проекций, в данном примере для решения 2-ой основной задачи требуется два преобразования: сначала прямая общего положения преобразуется в прямую уровня а затем в проецирующую прямую.

Ч

Рис. 1.88

астными случаями плоскопараллельного перемещения объекта являются способы его вращения вокруг проецирующей прямой и вокруг линии уровня. В этих способах используется только вращательное движение объекта в пространстве.

В качестве оси вращения обычно выбирают проецирующую прямую или прямую уровня. Если же требуется произвести вращение объекта вокруг оси, являющейся прямой общего положения, то предварительно выполняют преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы данная ось стала проецирующейся прямой.

1

Рис. 1.89

.8.2.1. При выполнении вращения вокруг проецирующей прямой, которая выполняет функцию оси, вращающаяся точка А описывает вокруг этой оси окружность α, которая расположена в плоскости Σ, перпендикулярной оси вращения i (рис. 1.89). Центр О этой окружности является основанием перпендикуляра, опущенного из вращаемой точки А на ось вращения i, или, другими словами, точкой пересечения с осью вращения i плоскости Σ, в которой вращается точка.

Так как плоскость Σ параллельна П₁ и перпендикулярна П₂, то окружность α и ее радиус ОА проецируются на плоскость проекций П₁ в натуральную величину, а на плоскость П₂ окружность проецируется в прямую α₂, совпадающую со следом Σ₂ плоскости Σ.

Аналогично можно рассмотреть вращение объекта вокруг фронтально проецирующей прямой. Как в первом, так и во втором случаях необходимо иметь в виду, что при вращении точки вокруг горизонтально (фронтально) проецирующей прямой горизонтальная (фронтальная) проекция точки перемещается по окружности, а фронтальная (горизонтальная) проекция – по прямой, перпендикулярной линиям проекционных связей.

На рис. 1.90 способом вращения вокруг проецирующих прямых i и j определена натуральная форма треугольника АВС.

Вращением на угол Ψ вокруг первой оси i, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через точку С, поверхность, заданная треугольником, преобразуется во фронтально-проецирующую плоскость. При этом должно быть выполнено условие, что горизонталь h(СD), принадлежащая поверхности, которая ограничена треугольником, должна быть перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂, или, что то же, параллельна линиям проекционных связей.

Вращением на угол φ вокруг второй оси j, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций и проходящей через точку В, поверхность, заданная треугольником, преобразуется в горизонтальную плоскость уровня.

П

Рис. 1.90

осле второго поворота треугольник АВС становится параллельным П₁, следовательно, горизонтальная проекция А¹¹₁В¹¹₁С¹¹₁ треугольника без искажений определяет его форму.

Если задаться целью одним поворотом расположить треугольник параллельно горизонтальной плоскости проекций П₁, то за ось вращения следует принять такую прямую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна П₁, т. е. одну из его горизонталей.

1.8.2.2. Рассмотрим вращение точки вокруг прямой уровня.

Рассмотрим пример, когда точка А вращается вокруг горизонтали h (рис. 1.91). При этом она опишет окружность, принадлежащую плоскости Σ, которая перпендикулярна оси вращения h. Так как Σ относится к классу горизонтально проецирующих плоскостей, то она спроецируется на плоскость проекций П₁ в виде прямой Σ₁, перпендикулярной к проекции h₁ горизонтали h. На рис. 1.91,а для упрощения чертежа плос­кость проекций П₁ зафиксирована на уровне горизонтали h.

Т

Рис. 1.91

аким образом, окружность, которую описывает при своем вращении точка А, проецируется на плоскость проекций П₁ в виде отрезка прямой. На плоскость П₂ эта окружность спроецируется в виде эллипса, т. к. она расположена в плоскости Σ под некоторым углом наклона к плоскости П₂.

Если при вращении точки А задаться целью найти ее совмещение А¹ с горизонтальной плоскостью Г, проведенной на уровне горизонтали h, то А¹ легко построить, определив радиус вращения r точки А.

Натуральную величину радиуса вращения r можно определить по спо­собу прямоугольного треугольника. Так, в прямоугольном треугольнике АА₁О₁ (рис. 1.91, а) радиус вращения r является гипотенузой, а катетами этого треугольника соответственно являются: горизонтальная проекция О₁А₁ радиуса вращения r и высота h = АА₁ точки А относительно горизон­тальной плоскости Г.

На рис. 1.91,б показано, как выполняются эти построения на комплексном чертеже. Проводим через проекцию А₁ точки А прямую Σ₁, перпендикулярную h₁. В пересечении Σ₁ и h₁ находим горизонтальную проекцию О₁ центра вращения О. Используя прямоугольный треугольник О₁А₁А*, в котором катетом О₁А₁ является горизонтальная проекция радиуса вращения точки А, а катетом А₁А* – высота h точки А относительно плоскости Г, находим натуральную величину радиуса вращения r точки А. Откладывая на прямой L₁ от точки О₁ натуральную величину радиуса вращения r, получим горизон­тальную проекцию А¹₁ искомого совмещения А¹.

На рис. 1.91, б также показано построение фронтальной проекции О₂ центра вращения, фронтальной проекции О₂А₂ радиуса вращения, а также фрон­тальной проекции А¹₂ совмещения A¹.

Рассмотрим теперь последовательность приемов при решении задачи, аналогичной рис. 1.90, по определению натуральной формы треугольника АВС. С этой целью за ось вращения используем такую прямую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна П₁, т. е. одну из его горизонталей.

П

Рис. 1.92

роводим через ее точку С горизонталь h, которую будем использовать в качестве оси вращения (рис. 1.92).

Определим проекцию А¹₁ совмещения точки А с плоскостью уровня Г, проведенной через горизонталь h. Для этого через точку А₁ про­водим прямую Σ¹₁, перпендикулярную h₁, и откладываем на ней от точки О₁ натуральную ве­личину радиуса вращения r, которую предварительно определяем с помощью прямоугольного треугольника О₁А₁А*.

Теперь найдем проекцию В₁ совмещения точки В, при этом можно не определять радиус вращения точки В, а использовать неподвижную точку D прямой АВ. Проекцию В₁ определим путем пересечении прямой А¹₁-D₁ с проекцией Σ¹¹₁ горизонтально проецирующей плоскости, по принадлежности к которой про­исходит вращение точки В.

Так как плоскость, которую можно задать полученным треугольником, в результате вращения вокруг прямой уровня совмещена с горизонтальной плоскостью уровня Г, то треугольник А¹₁В¹₁С¹₁ дает натуральную форму и размеры треуголь­ника АВС.

Таким образом, при вращении какой-либо плоской фигуры вокруг ее прямой уровня необходимо определить радиус вращения для построения проекции совмещения с горизонтальной плоскостью уровня Г только одной точки; проекции совмещений остальных точек, не определяя их радиусы вращения, можно построить, используя неподвижные точки прямых, на которых находятся эти точки.

Вращение объекта вокруг осей для решения сложных задач можно применять неоднократно, а также в сочетании с методом замены плоскостей проекций. Например, если ось вращения является прямой общего положения, то следует, используя способ замены плоскостей проекций, преобразовать ее в прямую частного положения, затем выполнить вращение объекта в пространстве вокруг этой новой оси.