1.5.2. Образование и задание поверхностей на чертеже

Поверхность в начертательной геометрии рассматривается как непрерывная совокупность последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия при своем движении может оставаться неизменной или деформироваться.

Такое определение поверхности удобно для ее задания на чертеже на основе так называемого кинематического (от греческого слова «Κίnemα» – движение) способа образования поверхности.

Поверхности могут быть заданы аналитически, т. е. уравнением (алгебраические поверхности и трансцендентные), и графически – на чертеже.

Н

Рис. 1.51

а любой поверхности, в общем случае, можно выделить два семейства кривых линий l и m (рис. 1.51), которые должны удовлетворять следующему условию: никакие две линии одного семейства не должны иметь общих точек, и, наоборот, каждая линия одного семейства должна пересекать все линии другого семейства.

В этом случае поверхность Ф (рис. 1.51) может быть образована движением линии l, называемой образующей, по неподвижным линиям второго семейства m, которые называются направляющими.

Очевидно, что если поменять местами образующие и направляющие, т. е. принять m за образующие, а l за направляющие, то в результате получится та же поверхность Ф.

Семейство линий l и m, которые определяют поверхность, называют ее каркасом. Каркас однозначно задает поверхность, поэтому ее определитель имеет следующий вид:

Ф(l,m) – криволинейная поверхность.

Способ образования поверхностей движением линии кладется в основу их изучения в начертательной геометрии. При этом из возможных способов образования поверхности и вида образующих и направляющих линий выбираются наиболее простые и удобные для изображения поверхности и решения задач.

Исходя из этого принципа, выделены несколько классов поверхностей, причем отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам:

• поверхности вращения;

• линейчатые поверхности;

• поверхности второго порядка;

• циклические поверхности;

• топографические и вообще графически задаваемые поверхности, которые изображаются на чертеже семейством линий каркаса, в частности линий уровня, принадлежащих поверхности. В этом случае говорят, что поверхность задана дискретным каркасом.

1.5.3. Поверхности вращения

П

Рис. 1.52

оверхность вращения получается при вращении линии (кривой или прямой), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. Следовательно, образующая l и ось вращения i составляют геометрическую часть определителя поверхности вращения, полная запись которого будет иметь следующий вид:

Ф(i,l) – поверхность вращения.

При вращении образующей l каждая ее точка (например С на рис. 1.52) описывает окружность c центром на оси i. Подобные окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллели называют соответственно экватором и горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось вращения, называют меридиональными плоскостями (например Δ на рис. 1.52). Линию пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называют меридианом поверхности.

Меридиональную плоскость Δ^I (рис 1.52), параллельную плоскости проекций, принято называть главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом, который совпадает с очерком поверхности.

Задание поверхности вращения на комплексном чертеже проекциями геометрической части ее определителя (рис. 1.53), хотя и однозначно определяет поверхность, но обладает существенным недостатком, а именно, при таком задании трудно определить форму поверхности. Поэтому для улучшения наглядности и облегчения решения конкретных задач при задании поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси и элементы каркаса, состоящие из параллелей, включая экватор и горло, и меридианов, в том числе очерки поверхности (рис. 1.54).

Е

Рис. 1.53	Рис. 1.54

сли, например, ось поверхности вращения параллельна фронтальной плоскости проекций, то фронтальный очерк n₂ поверхности является проекцией контурной линии (например на П₂ рис. 1.54), лежащей на секущей плоскости Σ║П₂ и проходящей через ось вращения i. Поэтому в данном примере горизонтальная проекция очерка поверхности n₁ Σ₁. Следовательно, линию n легко построить по точкам 1^I, 2^I, 3^I, …, взятым на параллелях, проведенных через точки 1, 2 , 3 … образующей l.

Элементы каркаса поверхности удобно использовать при решении задач, связанных с построением линии b, которая задана ее горизонтальной проекцией b₁ и должна принадлежать поверхности Ф(i,l). Фронтальная проекция линии строится по точкам, которые образуются в результате пересечения линии с параллелями и находятся на соответствующих линиях проекционных связей проекций линии b (рис. 1.54). Видимость фронтальной проекции b₂ линии b определяется точкой С, которая принадлежит фронтальному очерку поверхности Ф(i,l).

Вид образующей l, как правило, определяет название поверхности. Например, если l – парабола, то поверхность называют параболоидом вращения, если l – прямая, то конусом, цилиндром или однополосным гиперболоидом вращения.