2.4 Оптимальное распределение ресурсов

Условие задачи.

Условия задачи. На строительном полигоне имеется четыре кирпичных завода, объем производства, которых в сутки равен 300, 225, 145, 225, 180 тонн кирпича. Кирпич на строительные объекты доставляется автомобильным транспортом. Стоимость доставки одной тонны кирпича в условных денежных единицах приводится в таблице 6.1 в правом верхнем углу.

Требуется определить с каких заводов и на какие объекты должен доставляться кирпич, чтобы транспортные издержки по доставке кирпича автомобильным транспортом были минимальными.

Решение задачи начинают с введения обозначений и записи с их помощью ограничений задачи:

m- колчество заводов- поставщиков кирпича;

п- количество строек- потребителей;

А_i-мощность (количество продукции) i-го завода-поставщика;

Вj-потребность j-той строки-потребителя;

X_ij- размер поставки кирпича с i-го завода-поставщика j-той строке-потребителю;

C_ij-критерий оптимальности - себестоимость поставки единицы продукции с i-го завода-поставщика j-той строке-потребителю.

Исходные данные к расчету. таблица 5.1

	Кирпичные заводы				Объемы потребления, т
	А1	А2	А3	А4
Б1	300 7 * *	14 *	17	11	300
Б2	45 11 *	145 18	35 13	19	225
Б3	10	19	145 9 **	15	145
Б4	12	26	45 12	180 10 * *	225
Б5	180 9 *	15	11	17	180
Объемы производства, т	525	145	225	180	1075

На первом этапе решения выполняется построение первоначального распределения. Существует несколько методов построения первоначального распределения: метод минимума по строке, минимума по столбцу, северо-западного угла, двойного предпочтения. Рассмотрим построение первоначального распределения методом двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем:

- в начале выбирают и отмечают знаком * наименьшую стоимость доставки в каждой строке;

- затем это же делают по столбцам;

-клетки, имеющие 2 отметки, загружают в первую очередь, помещая в них максимально возможные т объемы доставки;

- затем загружают клетки , отмеченные один раз;

-нераспределенный груз направляют в неотмеченные клетки, расположенные на пересечении неудовлетворенных строки и столбца.

Для условия рассматриваемой задачи первоначальный план представлен в таблице 5.1.

Для полученного первоначального распределения определяется величина суммарных затрат на поставку и делается проверка оптимальности. Суммарные затраты на поставку по первоначальному варианту распределения составят:

З₁=300^.7 +45^.11+180^.9+145^.18+35^.13+145^.9+45^.12+180^.10= 10925 у.д.е.

На втором этапе полученное распределение ресурсов проверяют на оптимальность с помощью цифровых индексов, проставляемые в клетках вспомогательной строки и столбца.

В клетке вспомогательного столбца, соответствующей первой строке, записывают ноль. Остальные индексы рассчитывают исходя из того, что величина стоимости доставки, записанная в загруженной клетке (загруженными называются те клетки матрицы, в которых проставлены цифры загрузки), должна быть равна сумме индексов в соответствующих клетках вспомогательной строки и столбца, т.е.

ά_i + βj= C_ij

ά_i-индекс в клетке вспомогательной строки;

βj- индекс в клетке вспомогательного столбца;

C_ij- стоимость доставки в загруженной клетке.

Для нахождения индексов необходимо, чтобы число загруженных клеток в матрице равнялось числу

m+n-1, 5+4-1=8

где m-число столбцов в матрице;

n- число строк в матрице.

Заполненные клетки:

α1+β1=7 α1=0 β1=7

α2+β1=11 α2=4 β2=14

α2+β2=18

α2+β3=13 β3=9

α3+β3=9 α3=0

α4+β3=12 α4=3

α4+β4=10 β4=7

α5+β1=9 α5=2

Не заполненные клетки:

α1+β2≤14 α3+β2≤15

α1+β3≤17 α4+β1≤12

α1+β4≤11 α4+β2≤26

α2+β4≤19 α5+β6≥15!

α3+β1≤10 α5+β3=11

α3+β2≤19 α5+β4≤17

Проверка плана на оптимальность. таб. 5.2

		Кирпичные заводы										βj
		А1		А2		А3		А4
	Б1		300 7 **		14 *		7		11		7
	Б2		190 11 *		18 *		35 13		19		14
	Б3		10		19		145 9 **		15		9
	Б4		12		26		45 12		180 10 **		7
	Б5		35 9 *		145 15		11		17		0
άi		4		0		3		2

3₂=300*7+190*11+35*9+145*15+35*13+145*9+45*12+180*10=10780у.е.

Заполненные клетки:

α1+β1=7 α1=0 β1=7

α2+β1=11 α2=4 β2=13

α5+β1=9 α3=0 β3=9

α5+β2=15 α4=3 β4=7

α2+β3=13 α5=2

α3+β3=9

α4+β3=12

α4+β4=10

Не загруженные клетки

α1+β2≤14 α2+β4≤19 α4+β1≤12

α1+β3≤17 α3+β1≤10 α4+β2≤26

α1+β4≤11 α3+β2≤19 α5+β3=11

α2+β2≤18 α3+β4≤15 α5+β4≤17

Вывод: В этом плане оптимальных потенциальных клеток нет.

Полученное распределение ресурсов является оптимальным.