2.2 Определение оптимального соотношения квартир в застраеваемом микраройоне

Условие задачи: Строительная организация должна последовательно возвести в течение планового периода несколько объектов (А₁,А₂,..-,А_m), расположенных в различных населенных пунктах. При этом известны расстояния между всеми пунктами, и что движение строительных подразделений начинается с базы строительной организации (пункт А₀), на которую они возвращаются после завершения строительства всех объектов. Требуется предложить такую очередность строительства объектов, при которой длина суммарного пути перебазирования подразделений строительной организации окажется минимальной.

Таблица 1.1

Исходные данные для решения задачи

Номер варианта	Расстояние между пунктами
	А0 А1	А0 А2	А0 А3	А0 А4	А1 А2	А1 А3	А1 А4	А2А3	А2 А4	А3 А4
26	35	25	60	50	15	5	10	20	70	30

Решение:

На первом этапе решения задачи составляют таблицу вариантов, состоящих лишь из трех участков перебазирования (объектов строительства), причем группируют их по одинаковым объектам, состоящим на последнем месте в данном варианте очередности (таблица 1.2). Из каждой пары вариантов, состоящих из одних и тех же пунктов, выбирают наиболее перспективные (с минимальным расстоянием перебазирования) и выделяют их, а остальные варианты далее не рассматривают.

Таблица 1.2

Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования	Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования
А0 А2 А3 А1 А0 А3 А2 А1	25+20+5=50 60+25+15=100	А0 А1 А2 А3 А0 А2 А1 А3	35+15+20=70 25+15+5=45
А0 А2 А4 А1 А0 А4 А2А1	25+70+10=105 50+70+15=135	А0 А1 А4 А3 А0 А4 А1 А3	35+10+30=75 50+10+5=65
А0 А3 А4 А1 А0 А4А3 А1	60+30+10=100 50+30+15=95	А0 А2 А4 А3 А0 А4 А2 А3	25+70+30=125 50+70+20=140
А0 А1 А3 А2 А0 А3 А1 А2	35+5+20=60 60+5+15=80	А0 А1 А2 А4 А0 А2 А1 А4	35+15+70=110 25+15+10=50
А0 А1 А4 А2 А0 А4 А1 А2	35+10+70=115 50+10+15=75	А0 А1 А3 А4 А0 А3 А1 А4	35+5+30=70 60+5+10=75
А0 А3 А4 А2 А0 А4 А3 А2	60+30+70=160 50+30+20=100	А0 А2 А3 А4 А0 А3 А2 А4	25+20+30=75 60+20+70=150

На втором этапе решения задачи развивают лишь перспективные варианты, выявленные на первом этапе, добавляя к каждому из них ещё один неучтенный пункт (объект) (таблица 1.3).

Таблица 1.3

Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования	Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования
А0 А1 А0 А1 А0	50+10=60	А0 А1 А0 А1 А0	45+30=75
А0 А1 А0 А1 А0	105+5=110	А0 А1 А0 А1 А0	65+20=85
А0 А1 А0 А1 А0	95+15=110	А0 А1 А0 А1 А0	125+5=130
А0 А1 А0 А1 А0	60+10=70	А0 А1 А0 А1 А0	50+30=80
А0 А1 А0 А1 А0	75+20=95	А0 А1 А0 А1 А0	70+70=140
А0 А1 А0 А1 А0	100+15=115	А0 А1 А0 А1 А0	75+10=85

Сравнивая между собой варианты с одинаковыми объектами (пуншами), записанными на последнем месте в данном варианте, вновь выделяют перспективные (с минимальным расстоянием перебазирования), а остальные из рассмотрения исключают.

На третьем этапе вновь рассматривают лишь перспективные варианты, выявленные на втором этапе, добавляя к каждому из них пункт А₀ (т.е. возвращение строительных подразделений на базу строительной организации). На этом этапе устанавливают оптимальный вариант решения задачи (один или несколько) и делают окончательный вывод (таблица 1.4).

Таблица 1.4

Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования	Вариант перебазирования	Длина пути перебазирования
А0 А2 А3 А1 А4 А0	60+50=110	А0 А2 А1 А4 А3 А0	80+60=140
А0 А4 А1 А3 А2 А0	85+25=110	А0 А3 А2 А4 А1 А0	85+35=120

Вывод: В результате решения задачи установлен оптимальный вариант включения объектов в строительный поток длиной пути перебазирования строительных подразделений строительной организации, равной 110 километрам, - А₀А₂А₃А₁ А₄ А₀.

2.2. Определение оптимального соотношения квартир в застраемом микрорайоне

Условие задачи: Городской микрорайон застраивается жилыми домами двух типов: кирпичными и крупнопанельными. Требуется определить максимальное количество квартир в домах обоих типов, которое можно построить из получаемых строительной организацией материальных ресурсов, если известны нормативы расхода этих ресурсов на одну квартиру, как в кирпичном, так и в крупнопанельном исполнении.

Исходные данные для решения задачи

Вариант	Наличие (Аi) и расход (Вi и Вj) ресурсов
	Арматура				Пиломатериал				Цемент				Плитка			Трудозатраты
	А1	Вi	Вj	А2		Вi	Вj	А3		Вi	Вj	А4		Вi	А5		Вi	Вj
26	900	0,5	1,1	520		0,9	0,3	7000		5	10	400		0,5	6000		60	40

Для решения задачи введем условные обозначения:

Х₁ - искомое количество квартир в кирпичных домах;

Х₂ - искомое количество квартир в крупнопанельных домах.

Исходные данные для решения задачи

Таблица 3.1

Получаемые ресурсы		Расход ресурсов на 1 квартиру в:
Наименование	Количество		кирпичном доме	крупнопанельном доме
Арматура	900		0,5	1,1
Пиломатериалы	520		0,9	0,3
Цемент	7000		5	10
Плитка	400		0,5	-
Трудозатраты	60000		60	40

Тогда существующие ограничения в ресурсах при решении задачи запишутся следующими неравенствами:

по арматуре: 0,5 Х₁+1,1 Х₂ ≤ 900;

по пиломатериалу: 0,9 Х₁+0,3 Х₂ ≤ 520;

по цементу: 5Х₁+10 Х₂ ≤ 7000;

по плитке: 0,5 Х₁ ≤ 400;

по трудозатратам: 60 Х₁+40 Х₂ ≤ 60000,

при этом следует учитывать, что по смыслу задачи значения X₁ и Х₂ не могут быть отрицательными, т.е.

Х₁>0; Х₂ >0.

Целевая функция запишется в следующем виде:

L = X₁ + Х₂ → max.

5 Х₁+11 Х₂= 9000;

9 Х₁+3 Х₂= 5000;

5Х₁+10Х₂= 7000;

5 Х₁ =4000;

6 Х₁+4 Х₂=6000

при Х₁≥0;Х₂≥0.

Поскольку это уравнения прямых линий, то они легко наносятся на график с координатными осями X₁ и Х₂ при поочередном приравнивании X₁ и Х₂ нулю. Нанесем оси координат на плоскость и построим прямые линии, соответствующие каждому из уравнений (равенств).

Точка Д получена пересечением прямых линий, соответствующих уравнениям, которые выглядят следующим образом:

9 Х₁+3Х₂= 5200

5 Х₁+10 Х₂=7000

Д: Х₁ = 413 ; Х₂ = 493

Значение целевой функции в точке Д будет равно L = Х₁ + Х₂ = 413+493 = 906

Полученные результаты заносим в таблицу 3.2.

Наименование ресурсов	Количество ресурсов
	в наличии	использовано	остаток
Арматура, т.	900	750	+150
Пиломатер,м3	520	520	-
Цемент, т	7000	7000	-
Плитка, т. шт	400	207	+193
Трудозатрат, ч-дн.	60000	44540	+15460

Вывод: Оптимальное решение задачи является координаты точки Д, в которой целевая функция приобретает максимальное значение L_г=906. Следовательно, строительная организация максимально может построить из полученных ресурсов 413 квартир в кирпичном исполнении и 493, квартиры в крупнопанельном исполнении.