2.3. Определение оптимального соотношения длины автомобильных дорог различного типа

Магистральные дороги области строятся двух типов - с асфальтобетонным и бетонным верхним покрытием. Известны: наличие ресурсов и нормы расходования их на строительство 1 километра дорог разного типа, а также прибыль дорожно-строительной организации от реализации 1 километра дорог с различным покрытием. Требуется определить, сколько километров дорог различного типа можно построить при условии максимального использования наличных ресурсов и получения дорожно-строительной организацией максимальной прибыли.

Таблица 4. 1

Исходные данные для решения задачи

вариант	Наличие (Аi) и расход (Вi и Вj) ресурсов, тыс. м3												Прибыль
	Асфальт			Бетон			Песок			Гравий			С1	С2
	А1	Вi	Вj	А1	Вi	Вj	А1	Вi	Вj	А1	Вi	Вj
26	19	0,8	-	25	-	0,7	45	1,5	1,4	45	2,5	2,4	7	8

Для решения задачи введем условные обозначения:

Х₁- протяженность строящихся асфальтобетонных дорог, км;

Х₂- протяженность строящихся бетонных дорог, км.

Ограничения решения задачи по материальным ресурсам могут быть записаны в виде следующих неравенств;

по асфальтобетону 0,8 Х₁ ≤ 20;

по бетону 0,7 Х₂ ≤ 25

по песку 1,5 Х₁+1,4 Х₂≤ 45;

по гравию 2,5 Х₁+2,4 Х₂≤ 45;

при этом следует учитывать, что по смыслу задачи значения и не могут быть отрицательными, т.е.

Х₁>0;Х₂>0.

Целевая функция запишется в следующем виде:

L = 7X₁ + 8Х₂ → max.

Для удобства построений графика преобразуем все неравенства в равенства так, чтобы все коэффициенты при неизвестных были целочисленными и одного порядка.

8 Х₁ =200

7 Х₂ =250

15 Х₁+14 Х₂=450

25 Х₁+24 Х₂=450

Найдем направление прямых линий, описывающих выражение целевой функции. Для этого зададим два произвольных значения целевой функции, таких чтобы одно из них было заведомо больше другого, и нанесем на график положение полученных прямых линий. Это нужно для того, чтобы определить направление возрастания целевой функции, которое будет перпендикулярно линиям, отражающим положение целевой функции.

Нанесем на график жирной стрелкой направление возрастания целевой функции.

Точка В получена пересечением прямых линий, соответствующих уравнениям, которые выглядят следующим образом:

1,5 Х₁+1,4 Х₂≤ 45

2,5 Х₁+2,4 Х₂≤ 45

В: Х₁ = 18; Х₂ = 19

Полученные результаты заносим в таблицу 4.2.

Наименование ресурсов	Количество ресурсов, тыс.м3
	в наличии	использовано	остаток
Асфальтобетон	19	14,4	+4,6
Бетон	25	13,3	+11,7
Песок	45	53,6	-8,6
Гравий	45	45	-

Вывод: Оптимальное решение задачи является координаты точки Г, в которой целевая функция приобретает максимальное значение L_Г = 10X₁ + 8Х₂ = 332. Следовательно, дорожно-строительная организация максимально может построить из полученных ресурсов 12 км дорог с асфальтобетонным покрытием и 22 км дорог с бетонным покрытием.