Представление чисел с плавающей точкой

Кроме способа записи чисел с фиксированной запятой широкое распространение получил другой способ – представление чисел с плавающей запятой. При этом число представляется в виде N =  d  m, что соответствует следующей записи N = p^{ d} ( m),

где – p основание системы счисления; d – целое число, выражающее порядок числа N; m – мантисса числа, причем всегда выполняется неравенство m < 1.

Пример 2.3.1

Представить в форме с плавающей точкой числа (453) и (110101)

453 = 10³ 0,453 = 10⁴ 0,0453 = 10⁵ 0,00453.

110101=2⁰¹¹⁰0,110101 = 2⁰¹¹¹ 0,0110101 =2¹⁰⁰⁰0,00110101.

Представление чисел с плавающей точкой позволяет избежать масштабирования исходных чисел и слежения программистом за положением запятой во время вычислений, увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

2.4 Двоичная арифметика

Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами весьма просты, а над многоразрядными числами производится по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления (таблица 2.6).

Таблица 2.6 − Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0  0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0  1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1  0 = 0
1 + 1 = 102 (1– перенос)	0 – 1 = 1 (заем 1)	1  1 = 1

Сложение двоичных чисел выполняется столбиком, начиная с младшего разряда. При сложении двоичных чисел следует внимательно следить за переносами в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в соседние разряды, но и в старшие, более удаленные.

Пример 2.4.1

0 1^* 1 0 0^* 0^* 1^* слагаемое 49₁₀

+ 0 1 0 0 0 1 1 слагаемое 35₁₀

1 0 1 0 1 0 0 сумма 84₁₀.

Значками « * » отмечены разряды из которых происходит перенос.

Вычитание двоичных чисел производится по обычному правилу. При вычитании иногда возникает необходимость занимать единицу из старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам младшего разряда. Заем производится всякий раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше, чем в разряде уменьшаемого. Если в соседних разрядах стоят нули, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. Значками « * » отмечены разряды из которых производится заем.

Пример 2.4.2

1 1^* 0 0 0 1 уменьшаемое 49₁₀

–1 0 0 0 1 0 вычитаемое 34₁₀

0 0 1 1 1 1 разность 15₁₀.

В цифровой технике операция вычитания с использованием заема практически не применяется и реализуется как алгебраическое сложение с применением специальных кодов.