2 Арифметические оcновы цифровых устройств

2.1 Позиционная система счисления

Под системой счисления понимают способ выражения и обозначения чисел. Общепринятым сейчас является позиционное счисление, в котором значение любой цифры определяется не только принятой конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе. Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием p(p ¹ 1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени основания p на полином от этого основания:

где N_p – натуральное число в системе счисления с основанием p; a_i Î 0, 1, 2, …, p – 1 − цифры p − ичной системы счисления; n – количество разрядов, используемых для представления чисел; p^m – характеристика числа, m – показатель, m Î.., – 2, – 1, 0, 1, 2, …; p^m p^-i = p^m-i – позиционный вес i-го разряда числа, определяемый местом соответствующего символа в изображении числа.

Количество цифр в позиционной системе счисления равно ее основанию. Основанием системы счисления p_i называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления. В настоящее время наиболее распространенными являются основания 10, 2, 16, которые иногда обозначаются индексами: D – Decimal, B – Binary, O – Octanary, H – Hexadecimal, соответственно.

Для представления чисел в десятичной системе используются цифры a_i = (0, 1, …, 9), в двоичной – цифры a_i = (0, 1), в шестнадцатеричной – цифры и буквы a_i = (0, 1, …, 8, 9, A, B, C, D, E, F), где прописными латинскими буквами A,…, F обозначены цифры 10, 11, …, 15 десятичной системы. Цифры p_i, необходимые для построения системы счисления, должны удовлетворять неравенству:

0 £ a_i £ p – 1.

Если m = const, то это запись числа с фиксированной точкой (запятой). Позиция, в которой запятая фиксируется между разрядами числа, отделяет целую часть от дробной и определяет вес соответствующих разрядов. При m ³ n числа целые, при m £ 0 числа дробные и при 0 £ m £ n смешанные числа.

В качестве примера запишем десятичное число 8274 в виде целого, смешанного и дробного числа. При m = n = 4 полином этого числа запишется в следующем виде:

10⁴ (8×10^–1 + 2×10^–2 +7×10^–3 + 4×10^{– 4}) = 8×10³ + 2×10² + 7×10¹ +4×10⁰.

Смешанное число запишем при m = 2 и n = 4:

10² ( 8×10^–1 + 2×10^–2 +7×10^–3 + 4×10^{– 4} ) = 8×10¹ + 2×10⁰ + 7×10 ^–1 +

+4×10^–2= 82,74.

При m = 0, n = 4 получим дробное число

10⁰ ( 8×10^–1 + 2×10^–2 +7×10^–3 + 4×10^{– 4} ) = 8×10 ^–1 + 2×10^–2 + 7×10^–3 +

+4×10^{– 4} = 0,8274.

Позиционная система счисления весьма удобна для выполнения различных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), поэтому она является основной в цифровой и вычислительной технике.

Поскольку в цифровой технике основными логическими элементами являются устройства с двумя устойчивыми состояниями, то основной системой счисления является двоичная. В двоичной системе счисления любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр:

N2 = am – 1 am – 2 … a1 a0 a – 1 a – 2 ,

где a_i принимает значения 0 или 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в них коэффициентами:

N2 = am-1×2 m –1 + am-2×2m– 2 + + a1×21 + a0×20 + +a–1×2– 1 + a-2×2–2

Например, двоичное число 10110, 101₂ можно записать как

1×2⁴ + 0×2³ +1×2² +1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2^–1 +0×2^–2 + 1×2^–3,

что соответствует десятичному числу 22,625₁₀.

Для представления служебной информации при подготовке к решению задач на ЭВМ (например, номеров команд, адресов ячеек) применяют вспомогательные системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание

P = 16 и цифры a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Буквами A, B, C, D, E, F обозначены соответственно десятичные цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. С помощью формул разложения любое шестнадцатеричное число может быть представлено десятичным эквивалентом.

Пример 2.1.1 (1E, C)₁₆ = 1×16¹ + 14×16 ⁰ + 12×16^{– 1} = 30,75₁₀.

Запись команд и адресов ячеек памяти в шестнадцатеричной системе счисления еще более короткая, чем в восьмеричной.

2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую