3.2 Основные законы алгебры логики

В алгебре логики имеется четыре основных закона:

1. Переместительный, или закон коммутативности для операций сложения и умножения соответственно:

A  B = B  A;

A B = B A.

2. Сочетательный, или закон ассоциативности для сложения и умножения соответственно:

(A  B)  C = A  (B  C);

(A B) C = A (B C).

3. Распределительный, или закон дистрибутивности для сложения и умножения соответственно:

(A  B) C = A C  B C;

(A B)  C = (A  C) (B  C).

4. Закон двойственности или инверсии (правило де Моргана) сложения и умножения соответственно:

Справедливость этих законов можно доказать с помощью таблиц истинности сложных логических связей, описываемых законом, или с помощью логических преобразований.

Для преобразований логических выражений пользуются легко доказываемыми тождествами:

С помощью законов алгебры логики и тождеств могут быть доказаны соотношения, получившие названия правил:

поглощения A  AB = A,

A∙ (A  B) = A

и склеивания

Эти правила широко используют для преобразования переключательных функций с целью их упрощения.

Из правила де Моргана вытекают следствия:

с помощью которых появляется возможность выражать дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание, а конъюнкцию – через дизъюнкцию и отрицание. Законы двойственности справедливы для любого числа переменных.

Формы переключательной функции являются двойственными, если одна получается из другой путем замены всех символов операции И на символы операции ИЛИ и, наоборот, всех нулей на единицы и наоборот. Например, для функции

двойственной функцией будет:

В булевой алгебре при отсутствии в выражении скобок вводится следующий порядок действий: первыми выполняются операции отрицания, далее – конъюнкции, затем – дизъюнкции. Наличие в выражении скобок изменяет обычный порядок действий: в первую очередь должны выполняться операции внутри скобок.

3.3 Элементарные логические функции

Совокупность различных значений переменных называют набором. Булева функция n аргументов может иметь до N = 2ⁿ наборов. Поскольку функция принимает только два значения, общее число булевых функций n аргументов равно .Таким образом, функция одного аргумента может иметь четыре значения: y = x; ; y = 1 (константа 1); y = 0 (константа 0). Два аргумента дают 16 значений функции (таблица 3.3).

Любая из этих функций обращается в единицу только на своем наборе, во всех остальных случаях (2ⁿ – 1) она равна нулю. Такие функции получили название функций конституенты единицы. Аналогично функция конституента нуля обращается в нуль только на данном наборе, а в остальных случаях она равна единице, т.е. функции взаимно инверсны.

В число шестнадцати функций входят и вырожденные функции:

f₀ (x₁, x₂) = 0 – константа 0; f₃ (x₁, x₂) = x₁ – переменная x₁;

f ₅ (x₁, x₂) = x₂ – переменная x₂; f₁₀ (x₁, x₂) = – инверсия x

f₁₂ (x₁, x₂) = – инверсия x₁; f₁₅ (x₁, x₂) = 1 – константа 1.

Таблица 3.3

x1	x2		f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
0	0		0	0	0	0	0	0	0
0	1		0	0	0	0	1	1	1
1	0		0	0	1	1	0	0	1
1	1		0	1	0	1	0	1	0
f7	f8	f9		f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	1	1		1	1	1	1	1	1
1	0	0		0	0	1	1	1	1
1	0	0		1	1	0	0	1	1
1	0	1		0	1	0	1	0	1

Остальные десять булевых функций сведены в таблицу 3.4.

Таблица 3.4 − Булевы функци

Функция	Логическое выражение	Обозначение	Наименование
f1(x1, x2)	x1 x2	x1  x2	Конъюнкция, логическое И
f7(x1, x2)	x1 + x2	x1 V x2	Дизъюнкция, логическое ИЛИ
f2(x1, x2)	2	x1  x2	Запрет по x2
f4(x1, x2)	x2	x1  x2	Запрет по x1
f11(x1, x2)	2	x1  x2	Импликация от x2 к x1
f13(x1, x2)	V x2	x1  x2	Импликация от x1 к x2
f6(x1, x2)	2V x2	x1  x2	Сложение по модулю 2 (исключительное ИЛИ)
f9(x1, x2)	x1x2 V 2	x1  x2	Равнозначность (эквивалентность)

Продолжение таблицы 3.4

f8(x1, x2)		x1  x2	Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ)
f14(x1, x2)		x1  x2	Штрих Шеффера (операция И-НЕ)

Дадим краткую характеристику функциям, приведенным в таблице 3.4.

Функция Пирса реализует логическое сложение аргументов с отрицанием:

f₈ (x₁, x₂) = x₁  x₂ = = .

Следовательно, данная функция инверсна функции дизъюнкции f₇ (x₁,x₂):

f₈ (x₁, x₂) = (x₁, x₂).

Функция Шеффера осуществляет логическое умножение с отрицанием

f₁₄(x₁,x₂) = x₁  x₂ = .

Эта функция является инверсной по отношению к функции конъюнкции f₁ (x₁, x₂) = x₁ x₂ :

f₁₄ (x₁, x₂) = (x₁,x₂).

Функции Пирса и Шеффера связаны между собой соотношениями, аналогичными формулам де Моргана для функций дизъюнкции и конъюнкции:

= или x₁x₂ = ,

= или x₁ V x₂ = ,

поскольку они инверсны по отношению друг к другу:

f₈ (x₁, x₂) = ₁₄ (x₁, x₂).

Для функций Пирса и Шеффера справедливы следующие тождества:

x  x = , x  0 = , x  1 = 0,

x  x = , x  0 = 1,  1 = x.

Графическое изображение функций Пирса и Шеффера показано на рисунке 3.2 а, б соответственно.

Функции запрета и импликации также инверсны по отношению друг к другу. Запрет по x₂ f₂ (x₁, x₂) = ₂ является инверсией функции импликации от

x₁ к x₂ f₁₃ (x₁, x₂) = V x₂, т.е. x₁  x₂ =

или ₂ = , f₂ (x₁, x₂) = ₁₃ (x₁, x₂).

Аналогично запрет по x₁ функции f₄ (x₁, x₂) = x₂ является отрицанием функции импликации от

x₂ к x₁ f₁₁ (x₁, x₂) = ₂.

При этом справедливы следующие соотношения: x₂  x₁ = x₂  x₁, x₂ = ,

f₄ (x₁, x₂) = ₁₁ (x₁, x₂).

Графическое изображение функции запрета приведено на рисунке 3.2.

а) − ИЛИ-НЕ; б) − И-НЕ; в) − импликации; г) − сумма по

модулю два

Рисунок 3.2 − Графическое изображение логических схем

Для импликации не выполняются переместительный и сочетательный законы, поскольку для нее справедливы следующие соотношения:

x₁  x₂ =  ; x₁  x₂  x₁ = x₁.

Для импликации выполняются следующие тождества:

x  x = 1, x  1 = 1, 0  x = 1,

x  = , x  0 = , 1  x = 1.

Для функции сложения по модулю два справедливы следующие тождества:

x  x = 0, x  0 = x, x  = 1, x  1 = .

На рисунке 3.4 г приведено графическое изображение функции неравнозначности (сумма по модулю два).

Запрет по x₂

f₂ (x₁, x₂) = ₂

является инверсией функции импликации от x ₂ к x₁

f₁₃ (x₁, x₂) = V x₂,

f₂ (x₁, x₂) = ₁₃ (x₁, x₂).

Это легко доказывается с помощью правила де Моргана:

₂ = _2.

Аналогично, запрет по x₁ f₄ (x₁, x₂) = ₂, является взаимноинверсным с импликацией от x₁ к x₂ функции

f₁₁ (x₁, x₂) = V :

f₄ (x₁, x₂) = ₁₁ (x₁, x₂), x₂ = .

Функция неравнозначности f₆ (x₁, x₂) является инверсной по отношению к функции эквивалентности f₉ (x₁, x₂):

f₆ (x₁, x₂) = ₉ (x₁, x₂),

₂V x₂ =

Докажем это равенство, используя правило де Моргана:

( ₂V x₂ ) =

.

С помощью функций одной и двух переменных, называемых элементарными логическими функциями, используя принцип суперпозиции (принцип подстановки булевых функций вместо аргументов в другую функцию), можно построить любую сложную булеву функцию.