2.6 Умножение и деление двоичных чисел
Умножение двоичных многоразрядных чисел включает в себя операции определения знака произведения и определение его абсолютной величины. Знаковый разряд произведения может быть получен суммированием цифр знаковых разрядов сомножителей без формирования переноса:
0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1,
0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0 без формирования переноса.
При несовпадении цифр получается 1, что соответствует знаку произведения двух сомножителей с разными знаками.
Абсолютная величина значения произведения определяется путем перемножения без учета их знаков. Перемножение многоразрядных двоичных чисел производится на основе таблицы двоичного умножения (таблица 3.4). При умножении двух двоичных чисел множимое последовательно умножается на каждую цифру множителя, начиная либо с младшей, либо со старшей. Для учета веса соответствующей цифры множителя он сдвигается либо влево, либо вправо (если умножение производится начиная со старшего разряда множителя), на такое число разрядов, на которое соответствующий разряд множителя сдвинут относительно младшего или старшего разряда. Получающиеся в результате умножения и сдвига частичные произведения после суммирования дают полное произведение. Особенность умножения двоичных чисел состоит в том, что частичное произведение может быть либо сдвинутым на соответствующее число разрядов множимым, если соответствующая цифра множителя равна 1, либо нулем, если соответствующая цифра множителя равна 0.
Пример 2.6.1
1101111 11110 множимое
101
510множитель
1101111 первое частичное произведение
0000000 второе частичное произведение
1101111 третье
частичное произведение
1000101011 произведение (сумма = 55510.)
Тот же результат можно получить при умножении начиная со старших разрядов множителя.
1101111 11110 множимое
101
101 510 множитель
1101111 первое частичное произведение
0000000 второе частичное произведение
1101111
третье частичное произведение
1000101011 произведение (сумма частичных произведений) 55510 Если требуется сохранить все разряды в произведении, то в разрядной сетке устройства должно быть предусмотрено число разрядов, равное сумме числа разрядов множимого и множителя.
Деление двоичных многоразрядных чисел. Деление двоичных многоразрядных чисел включает в себя две операции – определение знака частного и определение его абсолютной величины. Знаковый разряд частного может быть получен, как и знаковый разряд произведения, суммированием цифр знаковых разрядов делимого и делителя без формирования переноса. Абсолютная величина частного определяется делением чисел без учета их знаков. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется группа разрядов, причем количество разрядов в этой группе должно либо равняться количеству разрядов в делителе, либо быть на один разряд больше. Если отделение такой группы возможно, в старшей разряд часто записывается 1, в противном случае в разряд единиц частного записывается нуль. Если выявилось, что частное содержит целую часть, то образуется новая группа разрядов путем вычитания из выделенной группы делителя и приписывания к разности очередной цифры делимого. Если в результате получилось число, превышающее делитель, то в частное записывается 1, в противном случае следующая цифра будет равна 0. В дальнейшем выполняется ряд одинаковых циклов. Если последняя цифра частного была равна 1, то новая группа образуется вычитанием делителя из предыдущей группы и приписыванием очередной цифры делимого. Если последняя цифра частного 0, то для образования новой группы достаточно приписать к предыдущей группе очередную цифру делимого. Последняя цифра целой части частного получается тогда, когда после определения очередной цифры частного 1 или 0 в делимом не останется больше цифр для того, чтобы организовать новую группу. После этого начинается выделение дробных членов частного. Оно отличается от вычисления целых членов только тем, что вместо очередных цифр делимого к предыдущим группам приписываются нули. Рассмотрим пример, в котором делимое больше делителя.
Умножение и деление двоичных чисел, как правило, осуществляют на специализированных арифметических процессорах (сопроцессорах) или программным способом на микропроцессорах.