1. Поняття про перетворення, аналіз спектрів сигналу та фільтрацію сигналів [1-5]

1.1. Отримання образів сигналів. Мета. Аналіз спектрів

В математиці відомо багато типів перетворень функцій, які у більшості випадків зводяться до отримання певних інтегралів, що залежать від одного або більше параметрів. З практичної точки зору сигналу ставлять у відповідність деяку функцію, яка залежить від часу або просторових координат. Внаслідок перетворення отримуємо образ сигналу, який в більшості випадків має назву спектра сигналу. Виникає питання – нащо здійснювати над сигналом достатньо складну математичну операцію? Що вона дає? Якщо система яка здійснює перетворення не вносить завад і здійснює перетворення в повному обсязі, то кількість інформації в сигналі та образі однакова. Здавалося б не має сенсу в такій операції, якщо б не одне проте! Інформація, яка присутня в сигналі, в образі надається в іншому вигляді, який може бути більш зручним для її аналізу. Більш того, іноді до образу можна застосувати, так звану фільтрацію, операцію, яка суттєво змінює початковий образ і дозволяє позбутися надлишковості у сигналі, виділити певну інформацію, позбутися завад, тощо.

Найбільш вживаним перетворенням в обробці та аналізі сигналів є перетворення Фур’є.

1.1.1. Фур’є перетворення

Перед тим як ввести визначення Фур’є перетворення відзначимо, що в зв’язку величина сигналу (величина напруги, струму, тощо) задається, як правило, як функція часу. Інакше кажучи маємо амплітудно-часове представлення сигналу.

Нехай маємо чотири гармонійні сигнали однакової амплітуди, частоти яких 10, 25, 50 та 100 Гц. Такий сигнал як відомо можна записати у вигляді

, (1.1)

де – амплітуда сигналу, – кругова частота, – «звичайна» частота, – початкова фаза сигналу, яка визначається моментом початку передавання сигналу .

Природно, що сигнали такої достатньо простої структури дуже легко відрізнити один від одного. В той же час, сума таких сигналів

, (1.2)

надана на рисунку 1.1 значно складніше і вже не піддається такому простому аналізу.

Введемо означення інтегрального Фур’є перетворення. Під Фур’є образом сигналу будемо розуміти такий вираз:

, (1.3)

де – кругова частота, – звичайна частота.

Схематично Фур’є перетворення будемо також позначати таким виразом:

. (1.4)

Рис. 1.1

Перетворення Фур’є має обернений характер, тобто можна розглядати також обернене Фур’є перетворення, яке також пов’язує сигнал та його образ:

, (1.5)

або

. (1.6)

Фур’є образ сигналу дуже часто називають представленням сигналу у частотній площині, або просто частотним представленням сигналу.

Наведемо деякі приклади (з точністю до ) Фур’є образів:

Таблиця 1.1

1
	1

Тут в таблиці

, (1.7)

, (1.8)

– дельта функція. Під цією функцією розуміємо таку величину:

, (1.9)

яка графічно може бути представлена як зображено на рисунку 1.2.

Рис.1.2

Відповідно до таблиці (третій рядок) Фур’є образ гармонійного сигналу графічно може бути зображений як на рисунку 1.3.

Як бачимо з рисунку Фур’є образ гармонійного сигналу, або іншими словами його частотне представлення характеризується наступним:

1. У Фур’є образі спостерігаються три різких сплески:

1-ий на нульовій частоті відповідає постійній складовій сигналу;

2-ий і 3-ій симетричні сплески, розташовані в точках + та – . При цьому , тобто локалізація сплесків визначається частотою гармонійного сигналу.

Рис. 1.3.

2. Відзначимо, що сплески в точках + та – абсолютно ідентичні. При цьому в загальному випадку можна стверджувати – для дійсних сигналів частини образу які, відповідають позитивним та негативним частотам однакові.

Саме тому для дійсних сигналів достатньо розглядати (аналізувати) образи сигналів лише для додатних .