2.Навчальний матеріал.

Тема: Неперервність функції в точці.

1.Фізичні процеси, які приводять до поняття неперервності.

Численні процеси природи описуються неперервними кривими.Наприклад, залежність тиску газу від об'єму або залежність теплоємності від температури.Проте є процеси, які описуються функціями, графіками яких є розривні криві. Прикладом є процес зарядження та розрядження конденсатора.При миттєвому розрядженні конденсатора (це можливо при малій тривалості розряду) цей процес описуватиметься кривою, яка буде розривною в точках, що відповідають моментам розряду. Досліджуючи різноманітні коливні процесі на осцилографі дістають розривні криві.

2.Означення неперервності функції в точці.

Нехай функція в околі точки х₀.Функцію f називають неперервною в точці х₀, якщо границя функції у точці х₀ дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

lim f(x)=f(x₀)

^{x→ x₀}

Користуючись відомим означенням границі за Гейне та Коші, можна дістати відповідні формулювання означення неперервності функції в точці.Введене означення неперервності функції узгоджується з наочним зображенням відповідної кривої. Поняття неперервності є локальна властивість функції, тобто така властивість, яку функція може мати в одній точці і не мати в іншій.

Неперервність функції в точці визначається рівністю

limf(x)=f(x₀),

^{x→ x₀}

яка одночасно дає правило обчислення границь неперервних функцій: для обчислення границі функції f, неперервної в точці х₀, коли х→х₀, досить обчислити значення функції в точці.

3. Функція називається неперервною на інтервалі (а;b), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Якщо функція визначена в околі точки х₀, крім самої точки х₀ і не є неперервною в точці х₀, то цю точку називають точкою розриву функції.

Приклад неперервних функцій:

Функція f(x)=x визначена на інтервалі (-∞;+∞) і неперервна на ньому.

Нехай х₀-довільна точка інтервалу.Необхідно довести, що

lim x=x₀

^{x→ x₀}

Задамо для всіх ε>0.Оскільки |f(x)-f(x₀)|=|x -x₀|, то нерівність |f(x)-f(x₀)|<ε виконуватиметься, як тільки | х - х₀ |<ε=δ(ε).

За означенням границі функції в точці маємо,що lim x=x₀.

^x→x₀

Отже, функція f(x)=x неперервна в точці х₀ і на всому інтервалі (-∞;+∞).

16

4.Поняття приростів аргумента та функції.

Нехай функція y=f(x) визначена на інтервалі (a;b).Величина ∆х=х - х₀ називається приростом аргументу.Якщо перейти від значення аргументу х₀ до значення х = х₀ +∆х, ∆х≠0 із цього інтервалу, то функція набуває приросту в т.х₀

∆f(x₀) = f(x)-f(x₀) = f(x₀+∆x)-f(x₀).

Приріст аргументу може бути додатним та від'ємним, а приріст функції

∆f(x₀) може бути додатним, від'ємним та рівним 0.

Наприклад:

Знайти прирости аргумента та функції в точці х₀ якщо f(x)=x², x₀ =2 та x =2,1

Розв'язання.

∆х = х - х₀ =2,1- 2 =0,1; ∆f(2)=f(2,1)-f(2) = 2,1² - 2²=0,41

5.Основну рівність, яка визначає неперервність функції в точці, можна записати так:

lim(f(x)-f(x₀) = 0.

^x→x₀

Якщо покласти х -х₀=∆х, то х = х₀ + ∆х і f(x)-f(x₀)=∆f(x),тоді дістанемо

lim∆f(x₀) = 0 (1)

^∆x→0

6. Означення 2. Функцію, визначену в деякому околі точки х₀ називають неперервною в цій точці, якщо нескінчено малому приросту аргументу ∆х відповідає нескінчено малий приріст функції ∆f(x₀) в цій точці, тобто має місце рівність (1)

17