2.Навчальний матеріал.
Тема: Метод інтегрування частинами.
1.Нехай функції u та v диференційовані на проміжку (a;b), то маємо
(uv) ' = u'v + uv' тобто d(uv)= udv+vdu.
Проінтегруємо ліву та праву частини:
∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ,
uv = ∫udv + ∫vdu, звідки
∫udv = uv - ∫vdu.
Цю формулу називають формулою інтегрування частинами. Ліва частина формули вважається заданою, тобто задано інтеграл ∫udv, і обчислення цього інтеграла зводиться до знаходження диференціала du функції u та функції v за відомим її диференціалом dv. Функція v = ∫dv визначається неоднозначно з точністю до довільної сталої С, тому вибирають ту функцію, яка має найпростіший вигляд, як правило, покладаючи С=0.
2.Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл ∫x cosx dx.
Розв'язання.
u = x du = dx
∫x cosx dx = =x sin x - ∫sin x dx =xsinx +cosx
dv=cosxdx v =∫cosxdx = sinx
+ C.
3.Приклад 2.Знайти невизначений інтеграл ∫х lnx dx.
Розв'язання
u = lnx dv = x dx
∫ x lnx dx = = ½x²lnx - ½∫x²dx/x =
du = dx/x v=∫x dx = ½x²
= ½x²lnx - ¼x² +C.
39
3. Контрольні завдання.
1.Знайти інтеграл методом безпосереднього інтегрування та методом заміни змінної.
2.Знайти невизначений інтеграл інтегруванням частинами.
Варіант 1 Варіант 2.
1.∫x³(x² - 1)dx ∫(1/x² + 4/x³)dx
2.∫x²sinx dx ∫arcsinx dx
Варіант 3 Варіант 4
1.∫(3x – 1)⁵dx ∫cos⁵x sin x dx
2.∫ex cos x dx ∫ex sinx dx
Варіант 5 Варіант 6
1.∫ех² +2 х dx ∫sin3x sin10x dx
2.∫x cos ½ x dx ∫arctg x dx
40
Інструкційна картка № 10
з самостійного опрацювання навчального матеріалу
з математики
Тема: Числові характеристики випадкових величин..
Мета: Формування поняття числових характеристик випадкових величин та їх властивостей.
Ι .План самостійного вивчення теми.
1.Поняття математичного сподівання випадкової величини.
2.Властивості математичного сподівання дискретної випадкової величини.
3.Поняття дисперсії випадкової величини.
4.Властивості дисперсії випадкової величини.
5.Поняття середнього квадратичного відхилення.
6.Поняття асиметрії
7.Поняття ексцесу.
8.Розрахунки характеристик випадкової величини.
ΙΙ Методичні вказівки.
Ознайомившись з числовими характеристиками випадкових величин та їх властивостями виробити навики обчислень математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення.
ΙΙΙ Контрольні запитання та завдання.
1.Означення математичного сподівання.
2.Властивості математичного сподівання.
3.Означення дисперсії випадкової величини.
4.Властивості дисперсії випадкової величини
5.Означення середнього квадратичного відхилення.
6.Означення асиметрії,ексцесу.
7.Розрахунки числових характеристик випадкових величин.
ΙV Література.
1.Солодовников А.С. Теорія ймовірностей.- Москва:Наука,1993.
2.Чистяков В.П.Курс теорії ймовірностей.- Москва: Наука,1994.
V Підсумки.
Знання відповідей на контрольні запитання та виконання завдання згідно варіанта.
41