2.Навчальний матеріал.

Тема 1.Похибки обчислень з наближеними даними.

1.Обчислення з стогим врахуванням похибок.

Теорема 1.Якщо a ≈х, b≈y з границями абсолютних похибок һ_а і һ_b то границі

h_a+b, h_a-b абсолютних похибок наближень а + b≈х+у, a - b≈х – у знаходяться по формулах

h_a+b =h_a+h_b

h_a-b =h_a – h_b,

тобто границя абсолютної похибки суми та різниці дорівнює сумі границь абсолютних похибок доданків, відповідно, зменшуваному та від'ємнику.

Теорема 2.Якщо a ≈x, b≈y, b≠0, y≠0 з границями відносних похибок E_a,E_b, то границі E_ab,E_a/b відносних похибок наближень ab≈xy, a/b≈x/y знаходяться по формулах

E_ab = E_a + E_b

E_a/b = E_a + E_b,

тобто границя відносної похибки добутку та частки дорівнює сумі границь відносних похибок співмножників, відповідно, діленого та дільника.

Теорема 3.Якщо а≈х з границею відносної похибки Е_а, то аⁿ≈хⁿ з границею відносної похибки nE_a , тобто E_aⁿ =E_a .

Підсумки.

Якщо х та у значно відрізняються один від іншого , наприклад, у набагато менше ніж х, то можна знехтувати одним з доданків, тобто E_a+b≈ E_a.

Якщо х та у досить мало відрізняються, то E_a-b може виявиться великим числом, отже точність наближення досить слаба.Тому при обчисленнях слід уникати віднімання чисел , які майже не відрізняються один від іншого.

2.Зразки прикладних задач з строгим врахуванням похибок.

Задача 1. Для сторін а та в прямокутника знайдені наближення а=10±0,1 (м), b=100±0,5 (м).Знайти наближене значення периметра та границі абсолютної та відносної похибок.

Розв'язання.

Р = a + b+a + b =220, h_p= 2h_a+2h_b=2 0,1+2 0,5 =1,2. Отже,Р=220±1,2 (м)

Е_Р= h_Р/P =0,00(54), тому, можна взять E_P=0,006 .

Задача 2.При вимірюванні аудиторії визначили, що довжина а =12,2±0,03 (м) і ширина b=8,3±0,02 (м).Знайти площу аудиторії та визначити межі похибок.

7

Розв'язання.

S ≈ 12,2·8,3 =101,26 звідки слідує, що

Е_а =0,03/12,2=0,0025, Е_b=0,02/8,3=0,0025.

Е_S = Е_a + Е_b=0,0050, h_S =0,0050·101,26≈0,51. Отже

S=101,26±0,51 (м²).Враховуючи точність вимірювання

S=101,26±0,6 (м²)

3.Обчислення без строгого врахування похибок.

В щоденній роботі технічного працівника, якщо не враховується похибка кожного поточного результату, рекомендується користуватись наступними правилами підрахунку правильних цифр.

1.При додаванні і відніманні наближених чисел менший десятковий розряд, який зберігається, повинен бути найбільшим серед десяткових розрядів, які записані останніми правильними значущими цифрами вихідних даних.

2.При множенні і діленні наближених чисел в результаті потрібно зберегти стільки значущих цифр, скільки їх має те з наближених вихідних даних, в якого найменше число правильних значущих цифр.

3.В поточному результаті рекомендується зберегти на одну-дві цифри більше, ніж вказано в правилах 1,2.В результаті кінцеві цифри потрібно округлить.

8