3.Навчальний матеріал.

Тема: Поняття про задачі лінійного програмування.

1.Лінійне програмування як галузь прикладної математики виникло в 30-х роках ХХ ст. у зв'язку з необхідністю задач планування виробництва (раціональне використання сировини та обладнання..

Типовою задачею лінійного програмування є задача визначення оптимального асортименту, транспортна задача, задача на складання сумішей при підготовці кормових раціонів.

Проста задача розміщення підприємств, які виробляють деякі продукти. Ці продукти споживаються в інших відомих фірмах.

Відомі затрати на виробництво одиниці продукту і можливий максимальний об'єм виробництва у всіх пунктах виробництва, а також затрати на транспортування з пунктів виробництва до пунктів споживання.

Потрібно так вибрать місця розміщення нових підприємств, об'єм виробництва в них і план перевезень, щоб сумарні витрати на виробництво і транспортування всього необхідного об'єму продукту були мінімальними.

2.Типовою задачею лінійного програмування є задача визначення оптимального асортименту.

Нехай на підприємстві є m видів ресурсів в кількості b₁, b₂,…b_m .Технологічні підприємства можуть випускати n видів різних виробів, причому норма витрат ресурсу ј –го виду на одиницю і-го виробу є величиною заданою а_іј. Ефективність випуску одиниці продукції і-го виду, тобто прибуток підприємства після його виробництва і реалізації є величиною відомою і характеризується показником с_і.

Завдання полягає в тому, щоб визначити план випуску виробів (оптимальний асортимент), при якому сумарний показник ефективності приймає найбільше значення.

Нехай х_і - кількість одиниць вирабу і-го виду..В цій задачі саме змінні х_і є незалежними, а решта фіксованими та наперед заданими, тобто залежними.

Функція виду

_n

Е= f(x)=с₁х₁+с₂х₂+…+с_n x_n = ∑c_i x_i

ⁱ⁼¹

29

повинна бути максималізована за рахунок оптимального вибору значень. Вибір повинен здійснюватися так, щоб не було перевитрат наявних ресурсів, тобто виконувались обмеження

_n

∑а_іј х_і ≤ b_ј (ј=1,2,…,m)

ⁿ⁼¹

Немає сенсу говорити про від'ємних об'ємах випуску продукції, тому природними в цій задачі є так звані прямі обмеження на незалежні змінні:

х₁≥0, х₂≥0,…,х_n≥0.

Остаточно задача має такий вигляд:

знайти _n

max z = ∑c_i x_i

ⁱ⁼¹

при обмеженнях

_n

∑a_iј x_i ≤b_ј, ј=1,2,…,m

ⁱ⁼¹

x₁ ≥0, x₂≥0,…,x_n ≥0.

В даному випадку функція f(x) = ∑c_ix_і і даних обмеженнях є лінійними відносно незалежних змінних, тобто х₁, х₂,…,х_n входять в дані вирази в першому степені з деякими постійними коефіцієнтами.

В найбільш загальному вигляді задача лінійного програмування формулюється так: потрібно знайти такі значення змінних х₁,х₂,…,х_n , які задовольняють співвідношенням виду:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂+ …+ а₁_n=b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂+ … + a₂_n=b₂

………………………..

a_m₁x₁ + a_m₂x₂+… + a_mn =b_m.

При цьому визначають найбільші та найменші значення функції

f(x₁,x₂,…,x_n) в порівнянні з її значеннями при всіх інших змінних, які задовольняють

систему обмежень.Будь-яке розв'язання системи рівнянь чи нерівностей називається допустимим розв'язком , або планом задачі.Допустимий розв'язок при якому функція приймає максимальне (мінімальне) значення, називається оптимальним розв'язком, оптимальним планом або розв'язком задачі лінійного програмування.

30

3

.Задача 1.

На виробництві, що випускає вироби двох типів, виробнича потужність складального цеху становить 100 виробів першого або 300 виробів другого типу на добу. Відділ технічного контролю може перевірити не більше, ніж 150 виробів довільного типу на добу. Відомо, що вироби першого типу коштують удвічі дорожче, ніж вироби другого типу. За цих умов скласти такий план випуску продукції, який забезпечував би виробництву найбільший прибуток.

Розв'язання.

Нехай х – кількість виробів першого типу, а у – другого типу, що мають задовольняти такі умови:

3х + у ≤ 300,

х + у ≤ 150,

х ≥0, у≥ 0, х,у ε Z.

Отже, задача полягає в тому, щоб з множини розв'язків системи нерівностей вибрати ті, при яких значення функції f буде найбільшим.

Областю розв'язків системи нерівностей є чоти трикутник ОАВD.

Покажемо, що найбільше значення функція f(x; y)=2x + y набуває в одній з вершин цього многокутника: О(0;0), А(0;150), В(75; 75), D(100;0).

Справді, функція f(x;у) =2х + у набуває значення, яке дорівнює с, для всіх пар (х;у) таких, що 2х + у =с. На координатній площині хОу ці точки належатимуть прямій 2х + у = с. При різних с дістаємо різні прямі, проте всі вони паралельні, бо мають один і той же кутовий коефіцієнт, що дорівнює 2. якщо при деякому значенні с пряма проходить через внутрішню точку чотирикутника OABD, то трохи зменшивши с, можна дістати пряму, паралельну даній, і яка знову проходитиме через внутрішню точку заданого многокутника.

Тому таке значення с, при якому пряма проходить через внутрішню точку многокутника, не може бути ні найбільшим ні найменшим значенням функції f. Залишаються прямі, які перетинають многокутник тільки по межі. Таким чином, найбільше значення функція f(x; y) = 2х + у досягає у вершині В(75;75) чотирикутника: f(75;75) = 225, тобто х=75, у =75, і підприємство отримає найбільший прибуток, якщо виготовлятиме щодоби 75 виробів першого типу і 75 виробів другого типу.

Задача 2.

З пунктів А та В треба відправити вантаж на склади №1, №2, №3. З пункту А весь вантаж можуть вивезти 80 автомобілів, а з пункту В – 100 автомобілів.

Склад №1 має прийняти 50 автомобілів, №2 -70, №3-60 автомобілів. Кількість бензину

(в літрах), яка витрачається одним автомобілем на пробіг від пункту до складу, подано в таблиці:

31

Склади Пункти	№1	№2	№3
А В	2 4	4 5	5 3

Складемо план перевезень, при якому загальна витрата бензину буде найменшою.

Розв'язання.

Нехай х – кількість автомобілів, відправлених з пункту А на склад №1, а

у- на склад №2. Тоді план перевезень можна подати такою таблицею:

Склади Пункти	№1	№2	№3
А В	х 50 - х	у 70 - у	80 – х – у х + у - 20

Відповідно до умови задачі загальна кількість витрат бензину визначається функцією s(x;y)= 2х + 4у + 5(80 – х – у) + 4(50 – х) + 3(х + у – 20) = 890 – 4х - 3у.

Крім того мають виконуватись нерівності:

80 – х – у ≥ 0,

50 – х ≥ 0,

70 – у ≥ 0,

х + у – 20 ≥ 0

х ≥ 0, у ≥ 0.

Задача зводиться до знаходження розв'язків системи.Ці розв'язки забезпечують найменше значення лінійної функції s(x;y)= 890 – 4х – 3у.

Областю розв'язків системи є многокутник АВСDEF. Найменшого значення функція s(х;у) набуває в одній з його вершин А(20;0), В(50;0),С(50;30),

D(10;70), E(0;70),F(0;20).Маємо s(20;0) =810, s(50;0)=690,s(50;30) =600,s(10;70)=640,

s(0;70)=680, s(0;20)=830.

32

Найменше значення функції серед знайдених -600.Отже, х = 50,у = 30.

Таким чином, найменша витрата бензину буде при такому плані перевезення вантажів:

Склади Пункти	№1	№2	№3
А В	50 0	30 40	0 60

Ми розглянули найпростіші задачі лінійного програмування. При розв'язуванні складніших задач, пов'язаних з великою кількістю змінних, обчислення здійснюють за спеціальними програмами.

33