Розв’язання завдань

Завдання 1а) Ряд ……………розбігається, оскільки не виконана необхідна умова збіжності ряду (2) , тобто умова a_n=0 .Дійсно ,……………

………………………………………………………………………………….

Завдання 1б) Застосовуючи ознаку Даламбера (3), одержимо ………….

………………………………………………………………………………….

Оскільки ця границя більша \ менша ^*) за одиницю, то початковий ряд розбігається \ збігається

Завдання 1в) Застосовуючи радикальну ознаку Коші (4) , одержимо ……….

………………………………………………………………………………………………..

Оскільки ця границя більша \ менша за одиницю, то початковий ряд розбігається \ збігається

Завдання 1г) Застосуємо ознаку порівняння рядів. У якості ряду порівняння візьмемо ряд Діріхлє

(Д)

Перевіримо виконання умов ознаки порівняння

Оскільки виконані умови граничної \ мажорантної ознаки порівняння , на основі теореми порівняння рядів робимо висновок , що початковий ряд і ряд порівняння поводять себе однаково . З урахуванням того ,що ряд Діріхле (Д) є збіжним \ розбіжним (внаслідок того, що p= ) ,одержимо висновок ,що початковий ряд є також збіжним \ розбіжним

Завдання 2 ) З формули для загального члену ряду одержимо :

а₀= а₁= а₂= ;

Дослідимо поданий ряд на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов теореми Лейбніца :

3. ;

4. монотонне спадання членів ряду, тобто .

Висновок :

Дослідимо поданий ряд на абсолютну збіжність. Для цього розглянемо ряд, що утворено з модулів членів поданого ряду

Висновок :

Завдання 3 ) Підставляючи у формулу для загального члена послідовно n=0,1,2 ,

одержимо u₀(x)= ; u₁(x)= ; u₂(x)= Тепер маємо можливість записати

S₂(x)=

Для визначення радіусу збіжності застосуємо формули (11) та одержимо

З’ясуємо поведінку ряду у граничних точках області збіжності. Розглянемо спочатку граничну точку x₁=x₀ – R= .Підставляючи x=x₁= у початковий ряд , одержимо числовий ряд

Для дослідження цього ряду на збіжність застосуємо

Таким чином, точка х₁ належить області збіжності \ розбіжності степеневого ряду.

Підставимо тепер у початковий ряд х₂=х₀ +R= . Одержимо числовий ряд

Для дослідження цього ряду на збіжність застосуємо

Таким чином, точка х₂ належить області збіжності \ розбіжності степеневого ряду.

Остаточно, область збіжності ряду має вигляд

Завдання 4 ) Застосовуючи розклад поданої функції у ряд Тейлора за допомогою табл. (стор.14 ),будемо мати

Підставивши замість х число x₀= та задовольняючись 3-ма членами розкладу одержимо

Оскільки цей ряд є знакозмінним , похибку можна оцінити за теоремою Лейбніца. Для цього обчислимо а₄ =

Одже похибка наближення не буде перебільшувати

Завдання 5 ) Необхідне наближення буде аналогічним (19) і матиме вигляд :

Обчислюючи f (0) ,одержимо f (0)=

Після диференціювання одержимо f (x)=

Відповідно f (0)=

Диференціюючи ще один раз ,будемо мати f (x)=

При цьому f (0)=

Таким чином, будемо мати наближення =

Завдання 6 )Для наближеного обчислення інтегралу застосуємо розклад у ряд Тейлора підінтегральної функції. За таблицею (стор.14) будемо мати

Проінтегруємо одержаний ряд почленно в інтервалі збіжності та одержимо:

Не важко бачити, що отриманий ряд є знакозмінним і задовольняє умовам теореми Лейбніца, тому I – S_n<a_n+1. Послідовно обчислюючи , маємо

n=1, a₁=……………………………n=2, a₂ =……………………………….

n=3, a₃……………………………..n=4, a₄ =……………………………..

Отже I ……………………………………………. з похибкою меншою ніж…………….

Завдання 7) Припустимо що для y(x) існує розклад у ряд Тейлора :

де позначено … . З початкової умови маємо x₀= ……. y₀ =…….. Значення визначимо з диференціального рівняння при x=x₀:

=

Продиференцюємо тепер задане рівняння з урахуванням того, що y=y(x) і отримаємо

Обчислимо в точці x₀. Будемо мати

Продиференцюємо ще один раз початкове рівняння та одержимо вираз для третьої похідної y(x) :

y (x)=

При цьому y (0)=

Остаточно , наближений розв’язок матиме вигляд

y(x)

Завдання 8) Виконаємо продовження даної функції на інтервал (-2l,2l)

Знайдемо коефіцієнти Фур’є. Оскільки функція f(x) є парною \ непарною, одержимо згідно (24)-(25)

Знайдемо ненульові коефіцієнти ряду

Таким чином, ряд Фур’є буде мати вигляд

Обчислимо три перших коефіцієнти Фур’є

Тепер маємо змогу записати тригонометричні многочлени

S₁(x)=

S₂(x)=

S₃(x)=

Обчислюючи значення цих многочленів у точці одержимо

S₁(x₀)= S₂(x₀)= S₃(x₀)=

Значення S(x)у точці x₀, що є точкою неперервності наданої функції, дорівнює

f(x₀)=

Оскільки точка x₁ є точкою розриву функції, за теоремою про характер збіжності рядів Фур’є будемо мати S(x₁)=