УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСАМИ ПЕРЕВЕЗЕНЬ

Кафедра “Вища математика”

РЯДИ

Завдання І МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до контрольної роботи з дисципліни

“ВИЩА МАТЕМАТИКА”

для студентів денної форми навчання

Студенту____________________________________________________________

____________________________________________________________________

Факультет________________________

Спеціальність_____________________

Група_____________________________

Варіант №_________________________

Видав_____________________________

Виконав__________________________

Харків 2003

Завдання і методичні вказівки розглянуті і рекомендовані до друку на засіданні кафедри “Вища математика” __6__ жовтня 2003 р., протокол № _2_.

Рекомендуються для студентів загальнотехнічних спеціальностей денної форми навчання.

Укладачі:

доц. Науменко В.В.,

доц. Осмаєв О.А.

доц. Стрельнікова О.О.

Рецензент

проф. Куліш Ю.В.

РЯДИ

Завдання І МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до контрольної роботи з дисципліни

“ВИЩА МАТЕМАТИКА”

Відповідальний за випуск

Редактор

Підписано до друку __ __ 200_р.

Формат паперу 6084 1/16 Папір писальний

Умовн.друк.арк.2.0 Обл. вид. Арк. 2.25

Замовлення № Тираж 300 прим.

Видавництво УкрДАЗТ, свідоцтво ДК №112 від 06.07.2000 р.

Друкарня Укр ДАЗТу

61050, Харків-50, майдан Фейербаха, 7

ВСТУП

Завдання і методичні вказівки призначені для активного вивчення студентами механічного та будівельного факультетів УкрДАЗТ денної форми навчання таких розділів курсу вищої математики: числові та степеневі ряди, ряди Тейлора та ряди Фур’є. Вони містять стислий виклад необхідних теоретичних питань та забезпечені прикладами, що поясняють теоретичні положення та дозволяють самостійно розв‘язувати задачі з даної теми. В завданнях і методичних вказівках міститься 8 завдань (по 30 варіантів у кожному), розв’язання яких дозволить опанувати матеріал з даної теми.

Числові ряди

Розглянемо нескінчену числову послідовність a₀, a₁, a₂, …, ,… .Це означає, що ми маємо закон (формулу), за якою можна знайти довільний член послідовності , задаючи його номер n, тобто є заданою функцією від n.

Приклад. Звідси можемо знайти, при необхідності:

а₅= , а₁₀₀ = , та ін.

Назвемо частковою (N-ою) сумою послідовності число

.

Розглянемо границю . Якщо існує таке скінчене число S, що , то воно називається сумою ряду, при цьому кажуть, що ряд збігається до S і цей факт записують у вигляді

(1)

Якщо виявиться, що , або не існує, то кажуть, що ряд розбігається. В цьому випадку його сума не існує.

Приклад . Ряд розбігається, тому що . Приклад . Ряд розбігається. Дійсно, маємо

. .

Тому не існує, і ряд розбігається.

Приклад. Розглянемо ряд , де q – довільне число. Неважко бачити, що послідовність 1, q, q 2, … q n… є геометричною прогресією із знаменником q. Відомо, що , отже

.

Висновок. Цей ряд збігається до числа для всіх q, що q<1, і розбігається для всіх інших q.

Приклад. Ряд збігається, оскільки він є окремим випадком попереднього ряду при q=0.5, при цьому S =2.

Зауважимо, що знайти точне значення S вдається не часто, у більшості випадків задовольняються його наближеним значенням, або просто обмежуються відповіддю на запитання: збігається ряд чи ні?

Загальні властивості рядів

1. Ряди та або обидва збігаються, або обидва розбігаються. Іншими словами, домноження кожного члену ряду на одне і теж число не впливає на факт збіжності ряду (але сума, якщо вона існує, змінюється ,звичайно, в  разів), тобто якщо =S, тоді . Таким чином сталий множник для збіжних рядів можна виносити за знак суми.

2. Ряди та (k>0-довільне число) також обидва збігаються або обидва розбігаються, тобто, якщо з ряду видалити декілька перших членів (a₀, a₁, a₂, a₃, … ), то це не вплине на факт існування суми ряду (хоча, звичайно, скінчену суму - змінить). Іншими словами, збіжність ряду не залежить від того, які в нього перші декілька членів. Вона залежить від того, як швидко спадають члени ряду на нескінченності. З урахуванням цієї властивості інколи поведінку членів ряду починають вивчати не з , а з .

3. Якщо ряди та збігаються, тоді ряд також збігається, (його сума S= S₁ S₂). Якщо один з перших двох рядів збігається, а другий – ні, тоді ряд – розбігається; якщо обидва розбігаються – результат невизначений (оскільки нескінченності можуть “погаситися”).

Ці властивості застосовуються як допоміжні при дослідженні рядів.

Для з’ясування збіжності рядів існує декілька ознак. Кожна з них може відповісти на запитання про збіжність ряду або не відповісти на нього. У останньому випадку треба застосовувати іншу ознаку.