11

Раздел 1: теория вероятностей

Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей

№ п/п	Испытание (опыт, эксперимент)	Элементарный исход	n
1.	Монета наудачу подбрасывается 1 раз	- «решетка», - «герб»	n=2
2.	Монета наудачу подбрасывается 3 раза	а) - последовательность результатов подбрасываний: =(р, р, р); =(р, р, г); =(р, г, р); =(г, р, р); =(р, г, г); =(г, р, г); =(г, г, р); =(г, г, г) б) – количество выпавших гербов: =(ноль гербов); =(один герб); =(два герба); =(три герба).	a) n=8 б) n=4
3.	Игральная кость подбрасывается 1 раз	– количество очков, выпавших на верхней грани игральной кости (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)	n=6
4.	Из колоды в 36 карт наудачу извлекается 1 карта	а) – номинал карты (i=1, …, 36); б) – масть карты (i = 1, 2, 3, 4); в) – цвет карты (i = 1, 2) и др.	а) n=36 б) n=4 в) n=2
5.	Монета наудачу подбрасывается до первого появления герба	– было сделано i подбрасываний: =(р, …, р, г),	n=a. Здесь множество элементарных исходов имеет столько же элементов, сколько элементов имеет множество натуральных чисел.

Случайное событие: А, В, С, D, E и т.д.

– количество элементов множества элементарных исходов.

Классическое определение вероятности

,

где Р(А) - вероятность наступления события А,

М - целое неотрицательное число, 0≤ М ≤ N

Свойства вероятностей.

1 . 0 ≤ Р(А) ≤ 1

2. P(Ω)=1, т.к. M=N → P(Ω) = N/N=1

3. P(Ø)=0, т.к. M=0 → P(Ø) =0/N=0

4. Р(А)+ Р(Ā)=1

Задача 1. В ящике находится 10 бракованных деталей и 15 годных деталей, которые тщательно перемешены. Найти вероятность того, что случайно (наугад, наудачу) извлеченная деталь будет годной.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в появлении годной детали. Общее число исходов равно общему числу деталей, т.е. 25 (N=25); число исходов, благоприятствующих появлению годной детали, равно 15 (М=15). Следовательно, P(A)=M/A=15/25=3/5

Задача 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков?

Решение: Событие В - выпадение четного числа очков.

М - число граней с четным числом очков (2, 4, 6, т.е. М=3)

N - число всех граней игральной кости (N=6)

Задача 3. В урне находятся n₁ шаров белого цвета и n₂ шаров черного цвета. Из урны аудачу без возвращения извлекают m шаров ( ). Определить вероятность того, что среди извлеченных шаров будет k шаров белого цвета.

Решение. Весь комплекс условий и действий можно изобразить так:

n ₁ белых шаров

n₂ черных шаров m = k (белых) + (m-k) черных

О пределим элементарный исход – «набор из m шаров» (здесь мы имеем в виду, что шары извлекаются без возвращения и порядок следования шаров в наборе не важен).

Определим число элементарных исходов . Т.к. все наборы, состоящие из m шаров, имеют равные шансы на реализацию, то выделенные исходы равновозможны. Классическое определение вероятности применять можно.

Определим случайное событие А – «среди извлеченных m шаров имеется ровно k шаров белого цвета» (при этом подразумевается, что остальные извлеченные шары – черного цвета).

Определим М – число исходов, благоприятствующих наступлению события А, т.е. подсчитаем число наборов по m шаров, в которых будет k шаров белого цвета и (m-k) шаров черного цвета. .

Согласно классическому определению вероятности, все условия применения которого выполнены, получаем:

.

Статистическое определение вероятности.

1.

Пример: Производится 100 выстрелов по мишени, при этом имеет место 98 попаданий. 98 – это частота, а 98/100 – это частость.

2.

3. P*(A) ≈ P(A)