§ 2.3. Ортогональные системы.
Правило разложения в ряд Фурье
по полной ортогональной системе
В этом параграфе излагаются кратко сведения из математического анализа, лежащие в основе метода Фурье, применяемого при решении смешанной задачи для волнового уравнения и ряда других краевых задач.
1. Пусть на
отрезке
заданы непрерывные функции
.
Скалярным
произведением
функций
называется число
.
(2.20)
Имеют место следующие свойства скалярного произведения:
1°.
.
2°.
.
3°.
.
4°.
,
где обозначено
.
Число
называется нормой
функции f(x).
Неравенство 4º называется неравенством
Буняковского.
Свойства 1º – 3º непосредственно следуют
из формулы (2.20) и свойств определенного
интеграла. Докажем свойство 4º.
В силу свойства
1º при любом
верно неравенство
.
Применяя свойства линейности 3º и симметрии 2º, получим
.
Это неравенство возможно при всех , если дискриминант квадратного трехчлена в левой части неположителен:
,
что эквивалентно свойству 4º.
2. Будем называть
функции
ортогональными
на отрезке
и писать
,
если
.
(2.21)
Бесконечную последовательность непрерывных на отличных от нуля функций
(2.22)
будем называть ортогональной системой на , если они попарно ортогональны:
при
.
Ортогональную систему (2.22) будем называть полной, если она не содержится в более широкой ортогональной системе.
Приведем два примера полных ортогональных систем.
а) Тригонометрическая
система.
Зафиксируем числа
.
Последовательность функций
(2.23)
является полной
ортогональной системой на отрезке
.
Ортогональность системы (2.23) вытекает, с учетом определений (2.20), (2.21) и выбора , из легко проверяемых равенств
Обоснование полноты системы (2.23) требует привлечения приемов, выходящих за рамки курса математики технического вуза.
б) Многочлены Лежандра. Рассмотрим последовательность функций
(2.24)
Вычисления
показывают, что
– многочлен n-й
степени:
Последовательность
(2.24) является полной ортогональной
системой на отрезке
.
Свойство ортогональности предлагаем
читателю проверить самостоятельно.
Многочлены Лежандра понадобятся нам
при решении краевых задач для уравнения
Лапласа.
3. Пусть на
отрезке
задана полная ортогональная система
(2.22) и функция f(x).
Будем говорить, что функция f(x)
разлагается в ряд Фурье по системе
(2.22), если существуют такие числа
,
что имеет место равенство
.
(2.25)
Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в ряд Фурье по ортогональной системе (2.22), то имеют место формулы
(2.26)
Приведем нестрогий
вывод формулы (2.26). Пусть имеет место
разложение (2.25). Умножая обе части этого
равенства скалярно на
и используя свойство линейности 3º
скалярного произведения, получим
.
Так как в силу
свойства ортогональности системы (2.22)
,
получаем
.
Отсюда следует требуемое.
В проведенном рассуждении полнота системы (2.22) не используется. Числа (2.26) называются коэффициентами Фурье функции f(x) относительно системы (2.22).
Следствие. Пусть функция f(x) разлагается в ряд Фурье по тригонометрической системе (2.23):
.
(2.27)
Тогда для определения
коэффициентов Фурье
имеют место формулы
(2.28)
(Первое слагаемое
в формуле (2.27) представлено в таком виде,
чтобы формула коэффициента
была верна и при
).
Докажем вторую формулу (2.28). Из (2.26) следует
.
В силу определения (2.20) скалярного произведения имеем
Вторая формула (2.28) доказана. Первая формула (2.28) доказывается аналогично.
4. Теорема 1 не дает ответ на вопрос: как проверить, разлагается ли функция в ряд Фурье по данной ортогональной системе. Укажем правило проверки тригонометрической системы. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке , если
1) f(x) непрерывна на либо имеет конечное число разрывов только первого рода (скачков);
2) f(x)
монотонна на
либо имеет конечное число локальных
максимумов (вершин) и минимумов (впадин).
Теорема 2.
Пусть функция f(x)
удовлетворяет условиям Дирихле на
.
Тогда в каждой точке непрерывности
имеет место разложение (2.27) с коэффициентами
Фурье (2.28). Если при этом функция непрерывна
в точках
и
,
то разложение (2.27) имеет место и в точках
.
Доказательство теоремы (она впервые доказана французским математиком Дирихле) существенно опирается, помимо ортогональности, на полноту системы (2.22).
Замечание 1.
Далее рассмотрим частный случай формулы
(2.27), когда функция f(x)
нечетная:
.
Формула (2.27) принимает вид
(2.29)
В самом деле,
Выполняя в первом
интеграле замену
и используя нечетность х
и равенство
,
получим
(величина
определенного интеграла не зависит от
обозначения переменной интегрирования).
Аналогичное вычисление дает формулу
(2.29) для определения коэффициента
.
Замечание 2. Обратим внимание на аналогию между построениями, выполненными выше, и построениями векторной алгебры. Для скалярного произведения векторов
(
– угол между векторами
)
верны указанные свойства
1º – 4º с заменой
нормы
длиной
(в обосновании нуждается лишь свойство
линейности 3º, остальные очевидны).
Ортогональность векторов
означает в других терминах выполнение
равенства
.
Полная ортогональная система (2.22)
является аналогом ортогонального базиса
(2.30)
в пространстве. Правило (2.25), (2.26) разложения функции в ряд Фурье по полной ортогональной системе (2.22) является аналогом правила разложения вектора по ортогональному базису (2.30):
Замечание 3.
Выполненные выше построения допускают
следующее обобщение. Зафиксируем на
отрезке
положительную
непрерывную
функцию
.
Скалярным произведением с
весом
функций
,
заданных и непрерывных на отрезке
,
называется число
Функции называются ортогональными с весом ,
если
Последовательность функций (2.22) называется полной ортогональной системой с весом на , если попарно ортогональны с весом , и при этом она не содержится в более широкой ортогональной системе с весом .
В этом случае
сохраняются свойства 1º – 4º скалярного
произведения и правило разложения
функции в ряд Фурье по полной ортогональной
системе (теорема 1) с заменой в формуле
(2.26)
.
Примеры ортогональных систем с весом
будут приведены позднее.