§ 2.9. Уравнения газовой динамики.

УРАВНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН

1. Рассмотрим движение газа. Пусть , ,

– скорость, плотность и давление газа в точке в момент t. Из газовой динамики известно, что при отсутствии источников, стоков и внешних сил эти величины связаны системой уравнений

где – проекции вектора скорости на ось координат.

Уравнение (2.106) называется уравнением неразрывности, (2.107) – уравнением движения, вместе они называются уравнениями Эйлера и образуют систему 4-х уравнений с пятью неизвестными . Предлагаем читателю записать эти уравнения подробно.

Приведем краткий вывод уравнения неразрывности. Рассмотрим некоторый объем газа V с гладкой поверхностью S и подсчитаем массу газа, втекающего в этот объем за единицу времени.

Через элемент поверхности ds проходит за единицу времени объем газа , равный объему цилиндра, изображенного

ds Рис. 20

на рисунке 20. Здесь – проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к поверхности S. Масса этого газа , суммарная масса протекающего через поверхность S за единицу времени газа

По формуле Гаусса-Остроградского находим

(2.108)

С другой стороны, приращение массы газа в объеме V за единицу времени равно

(2.109)

При отсутствии источников и стоков величины (2.108), (2.109) совпадают:

В силу произвольности объема V вытекает равенство (2.106).

Уравнение движения (2.107) выводится аналогично уравниванием сил инерции в объеме V и приложенных к поверхности S сил давления со стороны внешней части газа.

2. Применим уравнения газовой динамики к процессу распространения звука в газе. Обозначим плотность и давление газа в начальный момент времени, когда газ находился в состоянии равновесия. Введем в рассмотрение величину

– (2.110)

относительное отклонение плотности газа от равновесной.

Выведем уравнение для определения величины (2.110) при следующих предположениях.

1) Будем считать, что колебания газа малы: являются малыми величины и их производные. Это значит, что будем пренебрегать величинами более высокого порядка малости по сравнению с этими.

2) Будем считать движение газа адиабатическим, тогда плотность и давление связаны соотношением (адиабатой Пуассона)

(2.111)

где – теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме. Обозначим

(2.112)

Докажем, что при указанных предположениях величина (2.110) удовлетворяет уравнению

(2.113)

где – трехмерный лапласиан:

Из выражения (2.110) имеем

(2.114)

поэтому ≃ .

Подставляя эти выражения в уравнение (2.106) и сокращая на , в рамках приближения получим

(2.115)

Из соотношений (2.111), (2.114) имеем

≃

поэтому ≃ .

Далее,

≃

Подставив в уравнение (2.107) и разделив обе части на , получим

где а – постоянная (2.112). Применим к обеим частям этого равенства операцию div:

(2.116)

(в левой части изменен порядок дифференцирования). В силу правила векторного анализа

.

Из уравнения (2.115) имеем

Подставляя в (2.116), получим требуемое равенство (2.113).

Малые колебания плотности газа относительно равновесного значения называются звуковой волной. Уравнение (2.113), описывающее эти колебания, называется уравнением акустики, или уравнением звуковых волн.

Постоянная (2.112) имеет размерность скорости и является, как будет показано ниже (в § 2.10), скоростью звука.

Вычислим скорость звука в воздухе при нормальном атмосферном давлении. В этом случае

следовательно,

Замечание. Трехмерное волновое уравнение описывает также распространение электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Поясним это.

Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле. Обозначим векторы электрической и магнитной напряженности, плотность зарядов, – диэлектрическую постоянную и магнитную проницаемость среды, – ток проводимости. Эти величины удовлетворяют системе уравнений Максвелла

(2.117)

где с – скорость света в вакууме. Рассмотрим частный случай, когда (2.118)

Применим к последним двум равенствам (2.117) операцию rot и используем правило векторного анализа:

С учетом первых двух равенств (2.117) найдем

(2.119)

где – трехмерный лапласиан, векторные равенства (2.119) нужно понимать покоординатно. Далее, пусть выполнены первые три условия (2.118).

Представим соленоидальный вектор в виде

Справедливо равенство

Предлагаем самостоятельно доказать это.