§ 1.4. Классификация линейных учп

второго порядка

1. Напомним, что собственными числами квадратной матрицы называются корни характеристического уравнения

,

где I – единичная матрица соответствующего порядка. Если элементы вещественны и матрица А симметрическая: , то все корни этого уравнения вещественны.

2. Обозначим множество упорядоченных наборов n вещественных чисел ; наборы будем называть точками множества . УЧП второго порядка с неизвестной функцией называется линейным, если оно имеет вид

. (1.25)

Здесь – заданные функции от . Без

ограничения общности можно считать . Первая сумма в (1.25) называется дифференциальной формой второго порядка. Построим по коэффициентам матрицу , и пусть – собственные числа А; очевидно, они зависят от точки х. При фиксированной возможны три случая:

1. все и имеют одинаковый знак;

2. все и среди них имеются числа разных знаков;

3. хотя бы одно собственное число .

В первом случае говорят, что УЧП (1.25) является уравнением эллиптического типа в точке х, во втором – гиперболического типа, в третьем – параболического типа.

3. Уравнения колебаний (1.18), теплопроводности (1.20) и стационарное уравнение (1.22) после переноса всех членов в левую часть и преобразования по последней формуле (1.13) приводятся к виду (1.25), тем самым являются линейными УЧП второго порядка. При этом формы второго порядка имеют вид

для уравнения колебаний;

для уравнения теплопроводности;

для стационарного уравнения.

Матрицы форм имеют соответственно вид

;

; .

Так как собственные числа диагональной матрицы совпадают с элементами главной диагонали, отсюда следует: уравнение колебаний, уравнение теплопроводности, стационарное уравнение являются уравнениями соответственно гиперболического, параболического и эллиптического типов во всей области изменения независимых переменных.

Замечание. Для удобства дальнейших формулировок обобщим введенное в начале § 1.2 понятие “гладкая функция”. Будем называть функцию гладкой порядка n, если она имеет непрерывные частные производные вплоть до порядка n по всем независимым переменным.

Глава 2 уравнение колебаний

§ 2.1. Уравнение колебаний струны.

Типы краевых условий

Продемонстрируем вывод уравнения колебаний (1.18) на примере малых поперечных колебаний струны.

u 0 x x Рис. 12

Струной называется натянутая нить, несопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью х. Обозначим отклонение струны от положения равновесия в точке х в момент времени t. В каждый момент t уравнение

задает профиль струны в этот момент; с течением времени профиль меняется. Наша цель – вывести уравнение для .

Из геометрического смысла производной следует:

,

где – угол наклона касательной к струне (рис. 12). Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, будем далее пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с .

Так как струна не сопротивляется изгибу, то натяжение струны в точке х в момент t направлено по касательной к струне в точке х. Любой участок струны после отклонения от положения равновесия в рамках приближения не изменит своей длины: по формуле длины дуги

≃ .

Следовательно, в соответствии с законом Гука натяжение будет оставаться постоянным, не зависящим от х и t:

.

Будем рассматривать элемент струны , как материальную точку и применим к нему второй закон Ньютона:

, (2.1)

где – масса и ускорение, – равнодействующая приложенных к элементу сил в момент t. Обозначим плотность внешней силы, действующей в момент t на струну в плоскости перпендикулярно оси х. Тогда

, (2.2)

где – орт оси u. Пусть – линейная плотность струны в точке х.

Тогда m≃ . (2.3)

Далее, из механического смысла второй производной следует

. (2.4)

Подставив выражения (2.2) – (2.4) в (2.1) и проектируя полученное векторное равенство на ось u, найдем

. (2.5)

В рамках приближения

≃ ,

поэтому из (2.5) имеем

.

Переходя к пределу при , получим

. (2.6)

Равенство (2.6) – уравнение малых поперечных колебаний струны. При колебания струны называются вынужденными, при – свободными. В частном случае, если струна однородная ( ), уравнение колебаний струны – одномерное волновое уравнение:

. (2.6')

Рассмотрим различные варианты краевых задач для уравнения (2.6).

1. Задача о колебаниях бесконечной струны. Эта задача – математическая формализация (модель) реальной ситуации, когда струна достаточно длинная и при этом исследователя интересует характер колебаний лишь до тех пор, пока бегущий по струне импульс не отразится от какого-либо из концов. В этой ситуации для однозначного описания процесса колебаний достаточно задать начальный профиль струны (начальное отклонение от положения равновесия) и начальный импульс в каждой точке струны (начальный толчок):

, (2.7)

где – заданные функции. Уравнение (2.6) вместе с начальными условиями (2.7) называется задачей Коши для уравнения (2.6).

2. Задача о колебаниях конечной струны. В этом случае на характер колебаний влияют, кроме начальных условий (2.7), граничные условия – режим на концах струны. Рассмотрим различные варианты режима в каком-либо из концов струны с абсциссой .

а) Конец движется по заданному закону :

. (2.8)

б) Если на конец струны действует заданная сила , то

. (2.9)

Это равенство выражает баланс сил, приложенных к концу : силы и силы натяжения нити ≃ .

в) Если в условиях п. б) конец струны подвешен на пружине с жесткостью k, то баланс сил (2.9) в соответствии с законом Гука принимает вид

. (2.10)

Равенства (2.8) – (2.10) называются граничными условиями соответственно первого, второго и третьего типов. Аналогичные условия возникают в краевых задачах для двумерного и трехмерного уравнений колебаний (1.18).

Граничные условия (2.8) – (2.10) называются неоднородными, если правые части в них отличны от нуля, и однородными, если правые части равны нулю. Например, условие означает, что конец струны закреплен, условие – что конец струны свободен.

Уравнение (2.6) вместе с начальными условиями (2.7) и граничными условиями какого-либо из типов (2.8) – (2.10) называется смешанной задачей для уравнения (2.6).

Замечание. В курсе сопротивления материалов доказывается, что малые продольные колебания упругого стержня описываются уравнением

. (2.11)

Здесь – отклонение от положения равновесия в точке х в момент t, S(x) – площадь поперечного стержня и E(x) – модуль упругости стержня (модуль Юнга) в точке х.

Нетрудно убедиться, что уравнение (2.11) – вариант общего одномерного уравнения колебаний. Здесь также возникают задача Коши с начальными условиями вида (2.7) (для бесконечного стержня) и смешанная задача с граничными условиями указанных типов. Например, если конец стержня закреплен упруго и k – коэффициент жесткости закрепления, то в соответствии с законом Гука

.

В частном случае при уравнение (2.11) приводится к одномерному волновому уравнению (2.6'), где .

Краевые задачи указанных типов для одномерного уравнения колебаний возникают при изучении ряда других колебательных явлений: колебаний тока и напряжения в электрическом проводе (см. § 2.2), крутильных колебаний вала (круглого цилиндрического стержня) и других.

Далее будут рассмотрены методы решения задачи Коши и смешанной задачи для одномерного волнового уравнения.