§ 1.3. Предмет математической физики.

Примеры уравнений математической физики

Если интересующую нас физическую задачу удалось переформулировать в терминах какого-либо математического исчисления, то построенная таким образом математическая задача называется математической моделью физической задачи.

Предмет математической физики составляет построение и исследование математических моделей физических явлений.

Математическая физика развивалась со времен Ньютона. В конце XVII в. были открыты дифференциальное и интегральное исчисления (Ньютон, Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики (Ньютон). В XVIII в. методы математической физики формировались при изучении колебаний струн и стержней, а также в связи с задачами акустики и гидродинамики были заложены основы аналитической механики (Деламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж, Лаплас). В XIX в. идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упру-гости, оптики, электродинамики; создаются теория потенциала и теория устойчивости движения (Фурье, Пуассон, Гаусс, Коши, Остроградский, Дирихле, Риман, Ковалевская, Стокс, Пуанкаре, Ляпунов, Стеклов, Гильберт). В ХХ в. в математическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также газовой динамики и физики плазмы.

В последние десятилетия во взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются и исследуются качественно новые классы моделей математической физики.

Основными средствами исследования математических моделей физических задач являются математический анализ, теория дифференциальных и интегральных уравнений, приближенные методы, вычислительная математика.

Моделирование физических процессов систематически приводит к уравнениям или системам уравнений, в которых неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных и находятся под знаком частных производных по этим переменным. Такие уравнения называются уравнениями с частными производными (УЧП). Приведем три примера УЧП математической физики.

1. Уравнение колебаний. Колебания струн, стержней, мембран, пространственных тел, электромагнитные колебания описываются уравнением вида

. (1.18)

Здесь неизвестная функция u зависит от пространственных переменных и от времени t; коэффициенты определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F выражает интенсивность внешнего воздействия.

В частном случае ( ) уравнение (1.18) принимает вид

, (1.19)

где – лапласиан; учтено равенство .

Уравнение (1.19) называется волновым уравнением. Оно описывает колебания однородных сред.

2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла и процессы диффузии частиц в среде описываются уравнением вида

. (1.20)

В указанном выше частном случае уравнение (1.20) принимает вид

. (1.21)

Это уравнение описывает процесс распространения тепла в однородных средах. Свободный член f выражает интенсивность источников тепла.

3. Стационарное уравнение. В случае, когда в уравнении колебаний (1.18) и уравнении диффузии (1.20) неизвестная функция не зависит от времени (стационарный процесс), эти уравнения принимают вид

. (1.22)

При это уравнение называется уравнением Пуассона:

. (1.23)

При уравнение (1.23) называется уравнением Лапласа:

.

Было замечено, что уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал гармонического векторного поля, в частности потенциал поля сил тяжести. Уравнение (1.22) при называется уравнением Гельмгольца:

(1.24)

Решением УЧП называется функция, удовлетворяющая этому уравнению. При построении математических моделей физических процессов УЧП возникают вместе с дополнительной информацией: начальными и граничными условиями. Начальные условия задаются в каждой точке среды в начальный момент времени; граничные условия – в граничных точках среды, где происходит процесс. Начальные и граничные условия вместе принято называть краевыми условиями. Краевые условия позволяют выделить из бесконечного множества решений УЧП единственное решение, описывающее исследуемый физический процесс. УЧП вместе с краевыми условиями называется краевой задачей.

Основным содержанием излагаемого далее курса является исследование краевых задач для классических уравнений математической физики: волнового уравнения (1.19), уравнения теплопроводности (1.21) и уравнений Пуассона и Лапласа. Каждое из этих уравнений и связанная с ним теория представляет собой богатый мир математических фактов, имеющий многочисленные приложения в физике и технике. Будут рассмотрены примеры, иллюстрирующие, как возникают в физике рассматриваемые краевые задачи.

Замечание 1. Волновое уравнение с трехмерным лапласианом (1.14) называется трехмерным и имеет вид

.

Двумерное и одномерное волновые уравнения имеют соответственно вид

.

Аналогичные термины вводятся для уравнений теплопроводности, Пуассона, Лапласа и Гельмгольца.

Замечание 2. Порядком УЧП называется наибольший порядок частных производных от неизвестной функции, входящих в это уравнение. Все рассмотренные в этом параграфе УЧП – уравнения второго порядка.