§ 3.2. Преобразование фурье. Представление функций интегралом фурье

Изложим кратко сведения из математического анализа, используемые в следующем параграфе.

1. Пусть – комплекснозначная функция вещественного

аргумента х:

где – вещественнозначные функции. По определению, принимают

.

При таких определениях сохраняются основные свойства производных и интегралов.

2. Пусть По определению принимают

.

Этот ряд сходится при всех z, и имеет место формула

.

Отсюда, в частности, следует: при любом y

3. Функция f(x), заданная на оси , называется абсолютно интегрируемой на оси, если сходится (существует) несобственный интеграл

.

В этом случае и подавно сходится интеграл .

4. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на оси. Тогда при любом сходится интеграл

.

В самом деле, т. к. , то модуль подынтегральной функции равен и интеграл от модуля подынтегральной функции сходится, откуда следует требуемое. Рассмотрим функцию

. (3.6)

Функция называется преобразованием Фурье функции f(x).

5. Известно: если функция f(x) задана на конечном промежутке и удовлетворяет на нем условиям Дирихле: кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна, то она разлагается в тригонометрический ряд Фурье. В случае, если функция задана на всей оси, имеет место следующий аналог этого результата.

Теорема. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на оси и удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке числовой оси. Тогда во всех точках непрерывности f(x) верна формула

(3.7)

где – преобразование Фурье (3.6) функции f(x). Интеграл в правой части (3.7) называется интегралом Фурье.

§ 3.3. Задача коши для одномерного

УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим краевую задачу

Эта задача описывает (см. § 3.1) распространение тепла в однородном бесконечном стержне при отсутствии источников, а также диффузию частиц в бесконечной полой трубке при отсутствии источников и стоков.

Далее будем предполагать, что начальная функция абсолютно интегрируема на оси и удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке. Для решения задачи Коши (3.8), (3.9) применим вариант метода Фурье, в котором, как будет видно, роль ряда Фурье играет интеграл Фурье. Будем искать решение уравнения (3.8) в виде

(3.10)

Подставляя (3.10) в (3.8) и разделяя переменные, получим

где – параметр разделения. Отсюда следуют уравнения

Все решения первого уравнения даются формулой

.

Прямым вычислением нетрудно убедиться, что второму уравнению удовлетворяет комплекснозначная функция

.

Подставляя в (3.10), получим бесконечный набор решений уравнения (3.8), зависящий от параметра :

.

Будем искать решение краевой задачи (3.8), (3.9) в виде “суммы”

. (3.11)

Убедимся, что функция (3.11) удовлетворяет уравнению (3.8):

.

Подставим теперь в (3.11) и воспользуемся начальным условием (3.9):

.

С другой стороны, представляя интегралом Фурье, получим

,

где – преобразование Фурье функции . Сопоставляя полученные равенства, найдем :

.

Подстановка в (3.11) дает

,

где обозначено .

Вычисления дают (3.12)

Построенная функция (3.13)

удовлетворяет уравнению (3.8) при . Переходя в (3.13) к пределу при , после вычислений получим

.

Тем самым формула (3.13) дает искомое решение задачи Коши (3.8), (3.9). Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет уравнению (3.8):

.

Решение называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (3.8). Оно имеет следующий смысл: если в начальный момент стержень выделяет количество тепла , сосредоточенное в сечении , то распределение температуры в стержне при описывается формулой (3.12).

Замечание 1. Свертка двух заданных на оси функций определяется формулой

.

Формулу (3.13) для решения задачи Коши (3.8), (3.9) можно записать в виде

. (3.14)

Таким образом, для вычисления решения задачи Коши (3.8), (3.9) с любой начальной функцией нужно “свернуть” эту функцию с фундаментальным решением (3.12) уравнения теплопроводности (3.8). Аналогичное правило имеет место для двумерного и трехмерного случаев. Так, решение задачи Коши

(3.15)

дается формулой (3.14), где свертка определяется формулой

– фундаментальное решение уравнения (3.15):

.

Предлагаем по аналогии написать формулу (3.14) для трехмерного случая.

Замечание 2. Из формулы (3.13) следует, что тепло распространяется вдоль стержня не с конечной скоростью, а мгновенно. В самом деле, пусть начальная температура положительна на отрезке стержня и равна нулю вне этого отрезка. Тогда из (3.13) следует: при

откуда видно, что при сколь угодно малых температура во всем стержне положительна. Такая же ситуация в двумерном и трехмерном случаях. Этот недочет может быть устранен введением поправки в закон Фурье, лежащий в основе вывода уравнения теплопроводности, тогда оно принимает вид

, (3.16)

где – малый положительный параметр, имеющий смысл периода релаксации (восстановления термодинамического равновесия в среде). В отличие от уравнения , уравнение (3.16) – гиперболического типа (см. § 1.4). Анализ этого уравнения, аналогичный проведенному в § 2.10 для уравнения звуковых волн, показывает, что тепловая волна, первоначально локализованная на отрезке или в круге, или в шаре, со временем распространяется по всем направлениям со скоростью

.