§ 2.7. Функции бесселя.

СВОЙСТВО ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

1. При решении краевых задач математической физики часто возникает необходимость решать дифференциальное уравнение

(2.72)

Это уравнение называется уравнением Бесселя. Его решения называются цилиндрическими функциями. Входящая в уравнение Бесселя постоянная в конкретных краевых задачах принимает свои конкретные значения. Общая теория цилиндрических функций излагается в учебниках по математической физике [1, 3, 4]. Для решения краевых задач понадобится частное решение уравнения (2.72) и связанная с этим решением полная ортогональная система.

Лемма. Функция, определяемая формулой

(2.73)

где Г(х) – гамма-функция, является решением уравнения Бесселя.

Доказательство. Обозначим кратко

(2.74)

Для доказательства леммы нужно проверить справедливость равенства

(2.75)

Вычисляя первую и вторую производные функции (2.73) почленным дифференцированием и подставляя полученные выражения в (2.74), находим

или, с учетом вытекающего из основного свойства гамма-функции равенства

(2.76)

Далее, умножая равенство (2.73) на , получим

откуда, обозначая , найдем

(2.77)

Из выражений (2.76), (2.77) вытекает требуемое равенство (2.75).

Цилиндрическая функция (2.73) называется функцией Бесселя порядка . В приложениях наиболее часто встречаются функции . Подставляя в (2.73) и учитывая равенство , находим

. (2.78)

Аналогично находим

. (2.79)

Нетрудно убедиться, применяя признак сходимости Деламбера, что ряды (2.78), (2.79) абсолютно сходятся при всех х. Очевидно,

.

Отметим также соотношения

(предлагаем читателю проверить их) и асимптотические формулы, описывающие поведение функций (2.78), (2.79) при больших х:

~ ~ (2.80)

Из этих формул, в частности, следует, что , убывают до нуля при (“затухающий косинус” и “затухающий синус”).

2. Рассмотрим уравнение (2.81)

Справедливо утверждение (принимаем его без доказательства): при уравнение (2.81) имеет бесконечно много положительных корней.

(2.82)

при этом .

Очевидно, числа (2.82) зависят от : . Для примера приведем первые три корня уравнения (2.81) при (рис. 17):

≃2,4048, ≃5,5201, ≃8,6537.

1 0 x Рис. 17

Асимптотические формулы (2.80) позволяют приближенно находить числа с большими номерами для случаев , .

3. Зафиксируем и рассмотрим бесконечную последовательность функций

(2.83)

где – корни (2.82) уравнения (2.81). Напомним (см. замечание 3 § 2.3), что заданные и непрерывные на отрезке фун-кции f(x), g(x) называются ортогональными с весом отрезке , если

Справедливо утверждение: последовательность (2.83) – полная ортогональная система с весом на отрезке . Это означает:

1)

2) последовательность (2.83) не содержится в более широкой ортогональной системе на с таким же весом.

Докажем первое утверждение для частного случая, когда :

(2.84)

Уравнение Бесселя (2.72) для случая, когда , можно записать в виде

Пользуясь тем, что функция является решением этого уравнения, нетрудно убедиться, что при любом справедливо равенство

(2.85)

Пусть – корни уравнения :

(2.86)

Подставляя в (2.85) последовательно , умножая первое равенство на , второе – на и вычитая из первого равенства второе, получим

откуда легко получить

Интегрируя это равенство по отрезку , находим с учетом равенств (2.86)

.

Равенство (2.84) доказано.

Замечание. Приведем другую формулу функции Бесселя (2.73) при целом :

Из этой формулы, в частности, следует оценка