Министерство образования и науки Российской Федерации
Омский государственный технический университет
Р. К. Романовский
ЛЕКЦИИ
ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Уравнения колебаний и диффузии
Учебное пособие
Омск – 2004
УДК 51(075)
ББК 22.311я73
Р69
Рецензенты:
Н. В. Перцев, доктор физ.-мат. наук, профессор ОмГУ;
В. М. Гичев, канд. физ.-мат. наук, с. н. с. Омского филиала
Института математики СОРАН.
Романовский Р. К.
Р69 Лекции по уравнениям математической физики. Уравнения колебаний и диффузии: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. 102 с.
Основное назначение данного учебного пособия – методическое обеспечение годового курса “Уравнения математической физики” для студентов специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей.
с Романовский
Р. К., 2004
с Омский государственный техни-
ческий университет, 2004
Содержание
Предисловие……………………………………………………….….. |
4 |
|
Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ………………………………. |
6 |
|
§ 1.1. |
Определения и основные свойства интегралов различных видов (краткий обзор)………………………………………………………… |
6 |
§ 1.2. |
Основные понятия и правила векторного анализа (краткий обзор)…………………………………….................................................... |
10 |
§ 1.3. |
Предмет математической физики. Примеры уравнений математической физики………………….………………………………………. |
20 |
§ 1.4. |
Классификация линейных УЧП второго порядка………………….... |
25 |
Глава 2. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ…………………………………………. |
27 |
|
§ 2.1. |
Уравнение колебаний струны. Типы краевых условий......…………. |
27 |
§ 2.2. |
Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Метод Деламбера…………………………............................................................. |
33 |
§ 2.3. |
Ортогональные системы. Правило разложения в ряд Фурье по полной ортогональной системе………………………………………. |
39 |
§ 2.4. |
Смешанная задача для одномерного волнового уравнения. Метод Фурье……………………………………………………………….…... |
47 |
§ 2.5. |
Уравнение колебаний мембраны. Типы краевых условий……....…. |
56 |
§ 2.6. |
Гамма-функция Эйлера……...…………………………….………….. |
62 |
§ 2.7. |
Функции Бесселя. Свойство ортогональности функций Бесселя….. |
65 |
§ 2.8. |
Смешанная задача для двумерного волнового уравнения….........…. |
70 |
§ 2.9. |
Уравнения газовой динамики. Уравнение звуковых волн….………. |
77 |
§ 2.10. |
Распространение волн в пространстве. Принцип Гюйгенса…….….. |
81 |
Глава 3. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ………………………………………….. |
85 |
|
§ 3.1. |
Уравнения распространения тепла и диффузии…………………….. |
85 |
§ 3.2. |
Преобразование Фурье. Представление функций интегралом Фурье…………………………………...……………………….……… |
89 |
§ 3.3. |
Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности……... |
92 |
§ 3.4. |
Смешанная задача для трехмерного уравнения теплопроводности…………………………………………………………………...….. |
97 |
Библиографический список…………..……..………..……………….. |
102 |
|
Предисловие
Учебный материал пособия соответствует требованиям госстандартов по специальности 071100 “Динамика и прочность машин”.
Автор счел необходимым начать изложение с двух повторительных параграфов: краткого обзора по интегралам различных видов и по векторному анализу. Эти разделы являются традиционно трудными для усвоения в курсе высшей математики и в то же время систематически используются в течение всего данного курса.
Основным содержанием является исследование краевых задач – задачи Коши и смешанной задачи – для классических уравнений теории колебаний и теплофизики: волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Математическому анализу краевых задач предшествуют подробные физические выводы уравнений, обсуждение краевых условий. Так, выведены уравнения колебаний струны, мембраны, уравнения газовой динамики, звуковых и электромагнитных волн, уравнения распространения тепла и диффузии; приведено с краткими комментариями гиперболическое уравнение теплопроводности, учитывающее конечную скорость распространения тепла. Обсуждается физическая интерпретация получаемых математических результатов. Обращается внимание на универсальность математических моделей физики: одна и та же краевая задача описывает процессы различной физической природы.
Краевые задачи решаются, как правило, на основе различных вариантов метода Фурье. Для удобства читателя необходимые сведения о разложениях функций в ряд Фурье по полной ортогональной системе, о представлении функций интегралом Фурье, о специальных функциях даются непосредственно перед теми параграфами, где они используются. Обсуждаются свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, возникающей на промежуточном этапе при решении краевой задачи методом Фурье.
При написании данного учебного пособия автор стремился находить относительно простую методику изложения трудных для усвоения разделов курса и надеется, что это ему отчасти удалось.
Пособие может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей.
Выражаю благодарность Т. Г. Царицинской, методисту кафедры высшей математики за большую помощь в техническом оформлении рукописи.
Р. К. Романовский