5. Волновое движение. Уравнение волны. Стоячие волны

Так как во всяком теле составляющие его частицы связаны между собой, то колебания одной какой–либо частицы передаются постепенно другим частицам. Распространение колебаний в среде представляет собой волновое движение.

Уравнение волны.

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

,

где   — оператор Лапласа,   — неизвестная функция,   — время,   — пространственная переменная,   — фазовая скорость.

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

,

где   — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

 или 

Решение волнового уравнения

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

6. Интерференция волн. Когерентность. Условия возникновения интерференционных минимумов и максимумов.

 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - такое наложение волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

        Необходимые условия для наблюдения интерференции:

1) волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы её можно было успеть зарегистрировать);

2) волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции (попробуйте сложить две перпендикулярные синусоиды!). Иными словами, складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные).

        Волны, для которых выполняются эти два условия, называются КОГЕРЕНТНЫМИ. Первое условие иногда называют временной когерентностью, второе - пространственной когерентностью.

        Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух одинаковых однонаправленных синусоид. Варьировать будем только их относительный сдвиг. Иными словами, мы складываем две когерентные волны, которые отличаются только начальными фазами (либо их источники сдвинуты друг относительно друга, либо то и другое вместе).

        Если синусоиды расположены так, что их максимумы (и минимумы) совпадают в пространстве, произойдет их взаимное усиление.

        Если же синусоиды сдвинуты друг относительно друга на полпериода, максимумы одной придутся на минимумы другой; синусоиды уничтожат друг друга, то есть произойдет их взаимное ослабление.

        Математически это выглядит так. Складываем две волны:

здесь х₁ и х₂ - расстояния от источников волн до точки пространства, в которой мы наблюдаем результат наложения. Квадрат амплитуды результирующей волны (пропорциональный интенсивности волны) дается выражением:

        Максимум этого выражения есть 4A², минимум - 0; всё зависит от разности начальных фаз и от так называемой разности хода волн D:

        При    в данной точке пространства будет наблюдаться интерференционный максимум, при    - интерференционный минимум.

        В нашем простом примере источники волн и точка пространства, где мы наблюдаем интерференцию, находятся на одной прямой; вдоль этой прямой интерференционная картина для всех точек одинакова. Если же мы сдвинем точку наблюдения в сторону от прямой, соединяющей источники, мы попадем в область пространства, где интерференционная картина меняется от точки к точке. В этом случае мы будем наблюдать интерференцию волн с равными частотами и близкими волновыми векторами.