28. Атом водорода в квантовой механике.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺, двукратно ионизованного литияLi⁺⁺ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

                                                       (223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

                                                 (223.2)

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конеч­ности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии

                                               (223.3)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е₁, E₂, Е₃,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энер­гии, — основной, все остальные (Е_n >Е₁, n = 2, 3, ...) —возбужденные. При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ = 0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

29. Составные части ядра. Энергия связи нуклонов. Ядерные силы.

Протонно-нейтронная модель  В 1932 году русский физик Иваненко и немецкий физик Гейзенберг независимо друг от друга предложили протонно-нейтронную модель ядра. Согласно этой модели, атомное ядро состоит из протонов и нейтронов. Ядерные частицы получили название - нуклоны. Так как массы протона и нейтрона мало отличаются друг от друга и равны 1а.е.м., то массовое число А определяет общее число нуклонов в ядре. Число протонов в ядре, очевидно, равно зарядовому числу (Z). Тогда число нейтронов N=A-Z. Согласно протонно-нейтронной модели ядра, изотопы - это ядра, содержащие одинаковое число протонов, но различное число нейтронов.

Ядерные силы  Протоны, имеющиеся в ядре, отталкиваются друг от друга кулоновскими силами. Однако это не приводит к разрушению ядер. Очевидно, между нуклонами в ядре действуют силы притяжениянеэлектрической природы. Эти силы получили название ядерных. Взаимодействие нуклонов получило название сильного взаимодействия.  Свойства ядерных сил:

1. зарядовая независимость;

2. короткодействующий характер (ядерные силы действуют на расстояниях, не превышающих 2·10^-15 м);

3. насыщаемость (ядерные силы удерживают друг возле друга не больше определенного числа нуклонов).

Энергия связи ядра Энергия, которую надо затратить, чтобы, преодолев ядерные силы, расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи атомного ядра. Как следует из закона сохранения энергии, если ядро образуется из отдельных нуклонов, то энергия связи ядра в момент его формирования выделяется в виде излучения.  Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что

Е_св=Dm·c², где Dm-дефект массы ядра.

Что такое дефект массы? Рассчитаем суммарную массу покоя нуклонов, входящих в ядро какого-либо элемента: (Z·m_p+(A-Z)·m_n ). Сравним получившееся число с массой ядра M_я. Оказалось, что для всех элементов таблицы Менделеева масса ядра меньше суммарной массы частиц, входящих в состав ядра. Разница этих значений  и называется дефектом массы:

Dm=Z·m_p+(A-Z)·m_n-M_я

Итак, формула, по которой можно вычислить энергию связи, имеет вид:

Е_св=(Z·m_p+(A-Z)·m_n-M_я)·c²

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, называется удельной энергией связи:    dЕ=DЕ/А

Удельная энергия связи равна энергии, которую необходимо затратить. чтобы удалить из ядра 1 нуклон. Вычисление dЕ проведены для всех химических элементов. Зависимость удельной энергии связи от массового числа можно представить в виде графика, приведенного на рисунке. 

Из графика зависимости удельной энергии связи от массового числа А видно, что:

	у ядер с массовым числом  40<А<100 удельная энергия связи максимальна;
	у ядер с массовыми числами А>100 удельная энергия связи с ростом А плавно убывает;
	у ядер с массовыми числами А<40 с уменьшением А удельная энергия связи скачкообразно убывает.

На основании этого анализа сделан вывод о том, что практически можно осуществить два способа высвобождения внутриядерной энергии:

	деление тяжелых ядер (цепная реакция)
	синтез легких ядер (термоядерная реакция).