26. Уравнение Шредингера. Волновая функция, ее физический смысл. Постановка задачи в квантовой механике.
Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.
Зависимое от времени уравнение[править]
Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени[1] :
-
Зависимое от времени уравнение (общий случай)
,
где 
— гамильтониан.
Пример
нерелятивистского уравнения Шрёдингера
в координатном представлении для
точечной частицы массы
,
движущейся в потенциальном поле c
потенциалом 
:
Зависящее от времени уравнение Шрёдингера
|
Общий случай[править]
В квантовой
физике вводится комплекснозначная
функция 
,
описывающая чистое состояние объекта,
которая называется волновой
функцией.
В наиболее распространеннойкопенгагенской
интерпретации эта
функция связана с вероятностью обнаружения
объекта в одном из чистых состояний
(квадрат модуля волновой функции
представляет собойплотность
вероятности).
Поведение гамильтоновой системы в
чистом состоянии полностью описывается
с помощью волновой функции.
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.
Пусть волновая
функция задана
в n-мерном конфигурационном
пространстве,
тогда в каждой точке с координатами 
,
в определенный момент времени t она
будет иметь вид 
.
В таком случае уравнение Шрёдингера
запишется в виде:
где
,
— постоянная
Планка;
—
масса частицы, 
—
внешняя по отношению к частице потенциальная
энергия в
точке
в
момент времени
,
— оператор
Лапласа (или
лапласиан), эквивалентен квадрату оператора
набла и
в n-мерной системе координат имеет вид:
27. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме.
Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой
Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?
Вспомним "Кавказского пленника" (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.
Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.
В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.
Всю
область изменения п
еременной x разобьем
на три (см. рисунок 1). Вероятность
нахождения частицы в областях x <
0 и x > a равна
нулю, так что волновая функция Ψ(x) =
0. В центральной части мы положили для
удобства U(x)
= 0 (известно,
что потенциальная энергия определена
с точностью до константы). В этом случае
уравнение Шредингера принимает вид
,
где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение
.
Уравнение приобретает вид и имеет решение
.
Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = Asin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = Asin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3, ... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций
.
Условие нормировки
.
Окончательный вид волновой функции
.
Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β2. Тогда получим выражение для энергии
(1).
Самым важным результатом является то, что возможны только такие состояния, для которых E принимает одно из дискретных значений. Введенное выше число n называют квантовым числом. Значения En называют уровнями энергии. Говорят, что частица находится в квантовом состоянии n, если ее движение описывается волновой функцией Ψn(x). Три первых уровня энергии, соответствующие им волновые функции Ψ(x) и квадраты волновых функций изображены на рисунке 2.
Состояние с минимальной энергией (n = 1) называют основным, остальные - возбужденными. Обратите внимание на то, что энергия основного состояния не равна нулю. Про микрочастицы можно сказать – "покой им только снится". Это – общий результат квантовой механики, справедливый для всех ее задач и полностью чуждый классической механике.
Распределение плотности вероятности по координате |Ψ(x)|2 неоднородно и зависит от n. Чем больше n, тем сильнее неоднородность. С классической точки зрения на частицу в яме не действуют никакие силы, и она с равной вероятностью может находиться в любой точке.
Расстояние между соседними уровнями энергии
.
Чем меньше масса частицы и ширина области движения, больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10-30 кг) в атоме (размер порядка 10-10 м) получим ΔE ~ 10 эВ, а для молекулы (масса ~ 10-27 кг) в сосуде (размер порядка 10-1 м) – ΔE ~ 10-20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.
Найдем еще относительное расстояние между уровнями
.