25. Соотношение неопределенностей Гэйзенберга.
Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределённостей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.
Определение.
Если
имеется несколько (много) идентичных
копий системы в данном состоянии, то
измеренные значения координаты и
импульса будут подчиняться
определённому распределению
вероятности —
это фундаментальный постулат квантовой
механики. Измеряя величину среднеквадратического
отклонения 
координаты
и среднеквадратического отклонения 
импульса,
мы найдем что:
,
где ħ — приведённая постоянная Планка.
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что может быть измерен с высокой точностью, но тогда будет известен только приблизительно, или наоборот может быть определён точно, в то время как — нет. Во всех же других состояниях и , и могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.
Обобщённый принцип неопределённости
Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паресопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.
Теорема.
Для любых самосопряжённых
операторов: 
и 
,
и любого элемента
из 
такого,
что 
и 
оба
определены (то есть, в частности, 
и 
также
определены), имеем:
Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.
Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:
Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.
Оператор 
называют коммутатором 
и 
и
обозначают как 
.
Он определен для тех
,
для которых определены оба
и
.
Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:
Предположим,
и
—
две физические величины, которые связаны
с самосопряжёнными операторами.
Если 
и 
определены,
тогда:
,
где:
— среднее
значение оператора величины 
в
состоянии 
системы,
и
— оператор стандартного отклонения величины в состоянии системы.
Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.
То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой парыЭрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.
Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов и , которые имеют один и тот же собственный вектор . В этом случае представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для и .