25) Закон сложения вероятностей. Следствие.

Теорема: Если соб-я А и В могут наблюдаться в некотором эксперименте, то верно равенство P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(А∩В)

Док-во: Рассмотрим док-во в рамках классической вероятности. Обозначим через количество элементарных исходов, благоприятствующих пересечению этих событий. Тогда классическая вер-ть объединения событий нах-ся как: n-общее число элементарных исходов.

Следствия из теоремы:

1)для любых 2-х событий А и В, наблюдаемых в эксперименте, верно:

Р(А+В) P(A)+P(B).

2)если события А и В несовместны, т.е. =0, то Р( )=P(A)+P(B).

3)сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна 1

Действительно, пусть соб-я {A1, A2,…,An} образуют полную группу событий. Это означает, что данные соб-я попарно несовместны и хотя бы одно из них обязательно произойдет. Т.к. хотя бы одно обязат-но произойдет, то соб-е явл. достоверным, но вер-ть достоверного соб-я=1, а т.к. соб-я попарно несовместны, то вер-ть суммы=сумме вероятностей, откуда получаем: Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1

26)Правило «3-х сигм». Правило «2-х сигм». Функция Лапласа.

-вер-ть заданного отклонения для нормальной случайной величины

Пусть X(W) есть некоторая нормально распределенная случайная величина. Найдем вер-ть соб-я, состоящего в том, что в рез-те экспер-та случайная величина примет значение уклоняющееся от ее математического ожид-я на величину не больше 3-х . В соответствии с полученной формулой имеем

А следовательно, вер-ть искомого соб-я сост. 0,9972

Это говорит о том, что практически все свои знач-я нормально распределенная случайная величина принимает на интервале

Точка посередине: M[X(W)], точка слева: M[X(W)]-3 , точка справа: M[X(W)]+3

Легко посчитать, что вер-ть того, что нормально распределенная случайная величина примет значение за пределами данного интервала равна 0,0028.

В соотв. с правилом маловероятных событий для единичного экспер-та такое соб-е невозможно. Поэтому на практике принимают следующее умозаключение, которое получило название правило трех сигм:

Если в рез-те экспер-та с неизвестным законом распределения принимает все свои значения на отрезке M[X(W)]-3 ; M[X(W)]+3 то можно считать, что она не имеет нормальный закон распределения.

Правило «двух сигм». С вероятностью близкой к единице (0,9544) можно утверждать, что значения нормально распределенной СВ лежат в интервале  (тут тоже самое как и у трех) Если проведено 10000 испытаний, то результаты 9544 испытаний принадлежат указанному промежутку.

-функция Лапласа . Она табулирована.

27) Теорема Бернулли.

Предельная теорема Бернулли (закон больших чисел). Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события одна и та же, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Или, что то же самое, для любого верно равенство .

28)Понятие частоты события. Статистическая вероятность, ее св-ва.

Пусть некоторый эксперимент повторяется ровно n раз. Обозначим через А событие, наступление (или ненаступление) которое фиксируется в данном экспер-те. Предположим, что в рез-те n испытаний, событие А наблюдалось m(A) раз.

Опр. Частотой события А в данной последовательности испытаний называется отношение, обозначаемое обычно (ню там)

Предположим, что проводится k серий по n испытаний , в каждом из которых фиксируется наступление(ненаступление) соб-я А.

Пусть - кол-во наступлений соб-я А в i-той серии испытания. Тогда

- частота событий А в i-той серии испытания.

Экспериментальным путем установлено, что знач-я величин группируются около одного и тго же числа, которое в дальнейшем получило название вероятности соб-я А. И как правило обозначается Р(А), причем чем больше испытаний, тем меньше отклонений частоты от вероятности событий, т.е. формально можно написать . По причине увеличения числа испытаний, частота стремится к вер-ти. Этот факт и получил название устойчивости частот.

Замечание: Если вероятность=1/2, то это не означает, что при проведении 2х испытаний, событие А произойдет ровно 1 раз. Это означает что при проведении достаточно больших серий испытаний , соб-е А будет наблюдаться примерно в половине случаев. Таким обр. ТВ может иметь дело лишь только с многократно повторяемыми экспериментами, для которых имеет место устойчивость частот.

С частотой события тесно связано понятие статистической вероятности. Предположим, что имеется возможность проведения неограниченной последовательности испытаний при одном и том же фиксированном комплексе условий. Пусть в ходе каждого такого эксперимента фиксируется появление (или не появление) некоторого вполне определенного события A. Если в результате достаточно многочисленных наблюдений можно заключить, что частота события A колеблется около некоторой (вообще говоря неизвестной) величины, то говорят, что данное событие A имеет статистическую вероятность. В качестве численного значения статистической вероятности можно взять (естественно, приближенно) частоту события A, вычисленную при большом числе испытаний.

Стат-ое определение вер-ти применимо к тем событиям с неопределённым исходом, кот обладают свойствами: 1)Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий (появление войн, иск шедевров – бессмысленно); 2)События должны обладать статистической устойчивостью, те в различных сериях испытаний относит частота события изменяется незначительно, колеблясь около постоянного числа; 3)Число испытаний, в результате которых появляется соб А должно быть достаточно велико, т.к. только в этом случае можно считать вероятность соб А приближённо равной её частоте.  Свойства вер, вытекающие из классического определения сохраняются и при статистическом опр-ии вер-ти: 1) Вер-ть любого соб заключена между 0 и 1, 0≤P(A)≤1 2) Вер-ть достоверного соб =1; 3) Вер-ть невозможного соб =0.