Dist_kursPraktikum_4Integral

графиками функций:

4 = 8 − , 4 = +6.

Решение.

4

= 8

− ,

8 −

4

=

+6.

= +6 ,

− 7

+6 = 0,

7

= 1,

=

4

= 6,

= 3

площадь,

1;

, (6;3). Построим эти точки и графики

2

Искомая

площадь

равна разности площадей

и

.

Площадь

,

согласно формуле

выражается

=

=

=

∫

,

интегралом:

1

(8 −

)

1

205

=

=

=

4

−

| =

.

3

Площадь

4

4

12

трапеции

равна произведению полусуммы

ее оснований на высоту:

+

95

Следовательно,

искомая площадь

= 8 .

=

2

∙

205

95

5

Ответ:

=

−

=

12

−

8

= 5

24

кв.ед.

Пример52

кв.ед.

. Вычислить площадь области, ограниченную

параболами:

= 4 −

,

=

− 2 .

Решение.

Определим точки пересечения парабол

= 4 −

,

= −2 ,

решив уравнение

.

парабол:

(−1;3) ,

(2;0).

Точки пресечения

− 2

4 −

=

Искомую площадь

можно найти как алгебраическую сумму

площадей криволинейных трапеций:

−

.

=

+

8

1

= (4 − )

= 4 −

3

| = 8 −

3

+4 −

3

= 9

= ( −2 ) =

−

| = −

8

+4 =

4

.

Площадь

расположена под осью

,

поэтому, чтобы

3

3

3

получить ее величину с положительным знаком, пределы

интегрирования взяты справа налево.

1

4

= ( −2

) =

−

| =

+1 =

.

3

Следовательно,

4

3

3

4

=Площадь+

−

= 9+

3

−

3

= 9.

Примечание:

можно найти иначе, определив ее

дифференциал

как площадь прямоугольника, высота

которого – разность ординат данных парабол, а основание

,

= (

−

)

= [(4 −

) −(

− 2 )]

=

Отсюда

= (4+2

− 2

) .

2

= (4+2

−2

)

= (4

+

−

)|

= 9.

Ответ: 9 кв.ед.

3

6 = 24 ,

= 0.

= 0, = 4, = −4

Точки( − 16) = 0, − 16 = 0 ,

Построим эти точки и данные(0;0),

(0;−4), (0;4)

пресечения парабол:

Искомая площадь

состоит из двух одинаковых частей;

половину ее можно найти как разность площадей

криволинейных трапеций

и

, прилежащих к оси .

Тогда по формуле

= ∫

1

имеем:

=

=

(

−16 )

;

6

=

=

1

(

−16 )

;

= 2(

24

−

) =

= ( − ) =

1

( − 16 ) =

4

Решение.

= 2√3

и

= 2

.

Решив совместно уравнения

и

= 2

,

найдем точку пересечения

окружностей.

= 2√3

2

= 2√3

,

,

=

,

√

,

=.

√3

, =

.

= 2√3

∙

= √3

= 2√3

∙

Точка пересечения окружностей:

.

;√3

Построим данные окружности.

Искомая площадь

равна сумме площадей криволинейных

секторов

и

.

6

Дуга

описывается концов полярного радиуса

большей

от

до

,

= 2√3

=

∫

, имеем:

окружности

при изменении полярного угла

поэтому, по формуле

1

1

=

2

=

2

2√3

= 6

=

1

=

=

2

(1+

2

) = 3

(1+

2

)

=

= 3

1

2 (2 ) = 3

2

+

1

2 |

2

=

+

2

2

3

√3

1

= 3

2

−

3

+

2

2∙

2

−sin (2∙

3

) = 3

6

−

4

.

Дуга

описывается концом полярного радиуса

меньшей

окружности

до

, поэтому:= 2

при изменении полярного угла

от 0

1

1

(2

)

=

2

=

2

= 2

=

1

(1 − 2 ) =

=

=

2

(1 − 2 ) =

1

2

1

3

=

−

2

2 (2 ) =

−

2 |0

=

2

1

√3

=

3

−0 −

2

2∙

3

−sin (2∙0) =

3

−

4

.

=

+

=

√3

√3

5

= 3

−

+

−

=

− √3 .

6

4

3

4

6

=

( −

),

и осью .

=

(1 −

)

0

Решение.

(0) = (2 )

= 0:

,

до 2 , так как

в пределах от

Арка циклоиды описывается при изменении

(0) = (1 − 0) = (1− 1) = 0

,

> 0

а(в2 ) = (1−

2 ) = (1 −1) = 0

.

остальных точках указанного промежутка

Пределы интегрирования.

равны соответственно (0) = 0 и

(2 ) = 2

преобразуем интеграл к переменной

;

=

( −

),

= (1 −

) , = (1 −

]

).

,

[0;2

]

Когда

пробегает отрезок

[0;2

.

,

пробегает отрезок

(

) (= ∫

) = ∫

( )

( )

)2

2 (

Поэтому, по формуле

∙

1−

=

1−

имеем:

=

=

1−

=

+

)

=

(1 −2

+

=

=

− 2

=

− 2

+

1

(1 −

2 )

=

3

2

=

−

2

−

1

2

(2 )

=

2

4

3

1

3

=

2

| −2

| −

4

2 |

=

=

(2 −0)−2( 2 − 0)

−

1

( 4 − 0) =

2

4

3

1

=

2

2 −2(1− 1) −

4

∙0 = 3

Примечание: так как площадь круга радиуса

равна

, то

= −3,

= 1, =

, =

.

−3;

9

,

1;

1

2

2

Построим графики параболы

=

и прямой

Ограниченная данными линиями фигура

при вращении

вокруг оси

образует тело, объем которого можно найти как

разность объемов тел, образованных вращением вокруг оси

трапеций

и

.

Объем

, образованный вращением трапеции

, можно

найти по формуле:

=

3

3

=

) = (

= =

2

−

=

2

−

=

= |(1,5−

− 1,5) | =

(

−1,5)

(

−1,5) =

(

− 1,5)

[(1 −1,5)

−(−3 −1,5)

91

=

,3

|

=

3

] =

3

.

Объем

образованный вращением криволинейной трапеции