29)Условная вер-ть . Теорема умножения. Зависимые и независимые соб-я.
Часто приходится
решать задачу нахождения вероятности
одного события в предположении, что
перед этим [в этом же эксперименте
]
произошло (было зафиксировано) другое
событие. Такие вероятности принято
называть условными
вероятностями. Дадим
определение. Условной
вероятностью
события
при
условии, что произошло событие
,
называется величина, определяемая
соотношением
.
Из определения следует, что верно
равенство, называемое теоремой
умножения:
.
События A
и B
называют независимыми,
если
.
Отметим
следующие полезные
факты:
если два события являются независимыми, то они являются и совместными;
любые два несовместных события с ненулевыми вероятностями обязательно зависимы;
если события и
независимы, то факт появления в данном
эксперименте одного из них не оказывает
никакого влияния на вероятность другого,
то есть
и
.
Говорят, что события
независимы
в совокупности,
если для любого подмножества
этих
событий выполняется равенство:
.
Важно помнить, что из независимости событий в совокупности вытекает их попарная независимость. Но обратное утверждение не верно, то есть из попарной независимости не следует, что события независимы в совокупности.
Если нельзя предполагать, что события несовместны, то верна следующая
общая теорема
сложения:
.
31,Математическое ожидание биноминальной св.
Случайная величина X(W) закон распределения которой задается Бернулли назыв. Биноминальной СВ, а само распределение биноминальное..
Опр. Биномин. Св. X(W) при n=1 ( n –кол-во испытаний) является альтернативной СВ.
Альтернативная случайная величина,
которая описывает результат единственного
испытания в схеме Бернулли (появлению
события (успех) соответствует 1,
не появлению (неудача) – 0),
имеет ряд распределения
.
Мат.ожидание альтернативной СВ - M[X(W)]=P
Любую биномин. СВ можно представить в виде суммы альтернативных СВ
,
где альтерн СВ
,
если в i-ом испытании
произошло событие А и
,
если А не произошло.
Тогд мат.ожид М{
}=М[
]=p=n*p.
33.Понятие ДвСв и её свойства.
Пусть
и
случайные величины, определенные в
эксперименте
.
Случайная
величина
,
значениями которой являются упорядоченные
пары чисел
,
называется двумерной
случайной величиной.
Каждая из одномерных случайных величин,
входящих в состав ДвСВ, называется ее
компонентой
(соответственно первой
или второй).
Если ДвСВ может в результате эксперимента
принимать лишь конечное (или счетное)
число различных значений, то она
называется дискретной
ДвСВ. В том
случае, когда множество ее значений
имеет мощность континуум, она называется
непрерывной
ДвСВ.
Законом
распределения дискретной ДвСВ называется
правило соответствий между возможными
значениями этой ДвСВ
и их вероятностями
.
Например, таблица следующего вида
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
|
|
. . . |
|
Так как в данном
случае совокупность событий вида
образует полную группу событий, то сумма
вероятностей всех возможных значений
ДвСВ равна единице, то есть
.
Если задан закон распределения ДвСВ,
то известны и законы распределения
каждой из его компонент, так как
и аналогично
.
35.Начальные и центральные теоретические моменты.
Пусть X(W)- случ вел.
Начальным моментом
порядка
этой случайной величины называется
мат.ожидание
-ой
степени данной величины
.
Тк. D[X(W)]=М[X^2]-M^2[X],
то D[X(W)]=
.
Центральным моментом
порядка
называется величина равная
.