5)Сочетания и их свойства

Рассмотрим классическую задачу комбинаторики, суть кот. в след.: пусть имеется n различных объектов и пусть m-какое-то число от 1 до n. Сколькими различ. способами можно из n объектов отобрать m объектов, если порядок их отбора не важен. Ответ дает теорема: Сущ. ровно способов выюора m элементов из n, если порядок выбора не существенен. Число принято обозначать и называть числом сочетаний из n по m.

6)Выборки и их свойства

Выборкой объёма называется кортеж (упорядоченная последовательность) наблюдений за генеральной случайной величиной.

Будем различать конкретные выборки и случайные выборки.

Конкретной, будем называть выборку, элементами которой являются действительные числа – результаты отдельных наблюдений за данной случайной величиной.

Конкретные выборки будем обозначать следующим образом: .

Определение. Случайной выборкой будем называть всю мыслимую совокупность конкретных выборок.

Таким образом, конкретная выборка есть отдельный элемент (или одна из возможных реализаций) случайной выборки. Можно дать альтернативное определение случайной выборки.

Определение. Случайная выборка есть кортеж независимых, одинаково распределённых случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением генеральной случайной величины .

8)Поток событий и его свойства

Опр. Поток событий-это любая последовательность событий, которые могут происходить в случайные моменты времени. П.с. обладает след. св-вами:

1. стационарности

2. отсутствие последействия

3. ординарности

Опр. Поток событий облад. св-вом стационарности, если появление ровно k событий на некотором фисированом интервале ∆t зависит только от величины k и длины временного интервала (но не зависит от момента начала временного интервала).

Опр. Поток событий обладает свойством отсутствия последействия, если вероятность появления k событий на любом временном интервале не зависит от того, появляются ли и сколько раз эти соб-я на любых временных интервалах, предшествующих данным.

Опр. Поток событий обладает св-м ординарности, если появление более одного события на временном интервале достаточно малой длины является маловероятным событием.

Замечание: Т. обр. , если ню(клюв)-интенсивность потока событий, то за интервал времени ∆t может произойти в среднем (ню*∆t). Определитель потока событий называется простейшим если он одновременно удовлетворяет всем 3-м свойствам.

Если определена интенсивность ню потока событий, то формула позволяющая найти вероятность события состоит в том, что за время ∆t произойдет ровно k событий, полученных из формулы распределения Пуассона, т.е. из вместо нужно исп-ть (ню*∆t),

Замечание: для биноминального распределения является мат. ожиданием, а величина ню*∆t равна среднему числу событий за время ∆t, т.е. данные величины для 2-х данных ситуаций имеют один и тот же физический смысл.

10)Равномерное распределение и его св-ва.

Опр. Пусть непрерывная случайная величина X(W)принимает все свои значения на отрезке [a,b] ÌR. Она распределена равномерно на [a,b], если ф-ция плотности распределения этой случайной величины является константой.

Для любого закона распределения должно выполняться условие нормировки, которое для непрерывной случайной величины имеет вид

Если все свои значения равномерно распределенная случайная величина принимает на [a,b], то условие нормировки буде иметь вид: , а т.к. P(x)=const имеет

P(x)(b-a)=1 следовательно

График плотности распределения

x

b

a

там где y-P(x) а точка на y 1/b-a

Выражение для функции распределения равномерно распределенной случ. вел.

Если x≤ a следовательно F(x)=0

a<x≤b, то

Если x>b следовательно 11)Формула полной вероятности

Будем говорить, что события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в совокупности образуют достоверное событие.

Пусть в эксперименте события образуют полную группу событий (часто события называют гипотезами). Предположим, что в фиксируется событие B, причем априори [то есть, ещё до проведения эксперимента ] известны, как вероятности гипотез ), так и условные выроятности события B относительно каждой гипотезы . Тогда имеет место следующая

формула полной вероятности .