56. Оценка математического ожидания и дисперсии

В кач-ве оценки математического ожидания генеральной случайной величины следует брать величину ( М и скобки с домиком), кот. обычно обозначается и называется выборочной средней. Т.к. дисп. случ. есть цунтральный момент второго порядка , а его оценкой является (мю с домиком и х с домиком), то оценка дисперсии генеральной случайной величины принимает след. вид (D с домиком и мю)

57. Несмещенность. Эффективность. Состоятельность.

Качество оценки определяется её «близостью» к истинному значению оцениваемого параметра. Общепринято оценивать качество оценки, проверяя, выполняются ли для неё следующие основные свойства: несмещённость, эффективность и состоятельность. Дадим определения.

Определение_6.10. Оценка называется несмещённой оценкой параметра генеральной совокупности, если математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением параметра, то есть .

Определение_6.12. Оценка называется эффективной (в определённом классе оценок ) оценкой параметра генеральной совокупности, если она обладает наименьшей дисперсией (по сравнению с другими оценками из данного класса оценок ).

Определение_6.13. Оценка называется состоятельной оценкой параметра генеральной совокупности, если она сходится по вероятности к истинному значению параметра , то есть, если .

58. Свойства оценки математического ожидания. Свойства оценки дисперсии.

Свойства оценки генерального среднего. Так как , то данная оценка является несмещённой.

Покажем, что она является эффективной в классе линейных несмещённых оценок . Для того, чтобы оценка из данного класса являлась несмещённой, необходимо выполнение условия . Но . Откуда следует, что . Найдём дисперсию произвольной оценки из класса оценок . . Решим классическую задачу на условный экстремум: (или, что то же самое ) при условии, что . Очевидно, что функция Лагранжа в данном случае имеет вид: . Необходимые условия экстремума дают систему:

Из первых уравнений системы получаем . Подставим в последнее уравнение системы: . Откуда и для . Таким образом, точкой экстремума будет .

Ясно, что величина при будет минимальной по сравнению с другими значениями коэффициентов линейной комбинации, удовлетворяющими условию нормировки . Действительно, если какой-то из них равен единице, а все остальные равны нулю, то . Значит, оценка действительно является эффективной (относительно класса линейных несмещённых оценок).

Состоятельность оценки непосредственно следует из закона больших чисел. Напомним, что в соответствии с законом больших чисел «среднее арифметическое независимых, одинаково распределённых случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию». То есть . Что и требовалось.

Свойства оценки генеральной дисперсии.

Посмотрим, будет ли оценка несмещённой. Имеем

.

Найдём по отдельности каждое из слагаемых. Так как , то . Далее

.

Для третьего слагаемого имеем

Итак

Таким образом

Из того, что следует, что оценка является заниженной (смещённой) оценкой для генеральной дисперсии. Но так как , то данная оценка будет асимптотически несмещённой. Из равенства следует также, что величина является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Обозначим её через .

Покажем, что несмещённая оценка дисперсии является состоятельной оценкой. Рассмотрим неравенство Чебышёва . Ясно, что если , то и . Это означает сходимость оценки по вероятности к истинному значению, то есть состоятельность оценки.

Докажем, что действительно . Имеем:

. Найдём

.

Найдём каждое из девяти слагаемых по отдельности. При этом будем считать, что все случайные величины являются центрированными, то есть . Это предположение не влияет на общность рассуждений, так как участвующие в выражении разности можно представить в виде следующих центрированных величин . Имеем:

1)

2) .

Рассмотрим по отдельности варианты, когда и когда .

Если , то

( так как все ).

Если , то

. Итак, имеем:

3)

. Таким образом: .

4) .

Рассмотрим по отдельности варианты, когда и когда .

Если , то имеем

.

Если , то

.

Таким образом

5)

.

Рассмотрим по отдельности варианты, когда и когда .

Если , то имеем

.

Если , то

.

Таким образом

6)

.

Рассмотрим второе слагаемое, оно отлично от нуля, то есть

, только в том случае, если выполняется . Подсчитаем число таких слагаемых. Любой из индексов может равняться значению индекса . То есть, имеем три варианта . В каждом из таких вариантов два других индекса должны равняться друг другу, но не быть равными значению индекса . Таких вариантов будет ровно , так как первый из индексов можно выбрать любым, не равным , а второй единственным (равным ему) способом. Значит всего возможных вариантов . Окончательно имеем .

7)

8)

9)

Отметим, что второе слагаемое отлично от нуля только в том случае, когда оно равно . Найдём число таких вариантов. Первый индекс может принимать любое из возможных значений, имеем вариантов. При каждом таком значении один из трёх оставшихся индексов должен принять то же значение, что и первый индекс, то есть всего три варианта. Один из двух оставшихся индексов (ещё два варианта) может принять одно из оставшихся значений, ещё вариант. Последний из оставшихся индексов обязан принять то же значение, что и предпоследний индекс – единственный вариант. Таким образом, в соответствии с правилом умножения, всего различных вариантов будет: . Значит

.

Теперь можно найти . Каждое слагаемое заменим найденным выражением, причём, отдельно для случаев . Имеем:

.

Так как , то

.

Найдём теперь .

Таким образом, стремится к нулю, при , если существует центральный момент четвёртого порядка.

Общий вывод: оценка дисперсии состоятельна, если существует центральный момент четвёртого порядка.