36.Функция распределения св и её свойства

Функцией распределения случайной величины называется вещественная функция , определенная на всей числовой прямой, принимающая значения на отрезке [0,1] и определяемая аналитической зависимостью . Таким образом, для любого действительного числа значение определяет вероятность события «случайная величина примет значение меньшее чем ». (Отметим, что из определения следует, что случайная величина является измеримой относительно поля событий , то есть, для любого .) Функция распределения вероятностей случайной величины обладает следующими свойствами:

1) ;

2) если , то (является неубывающей);

3) (является непрерывной слева;

4) ;

5) функция распределения не может иметь более чем счетное множество скачков (говорят, что имеет при скачок, если ).

37.Нормальное распределение и его свойства

Опр. непрерывная случайная величина X(W) имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если ее функция плотности распределения имеет вид .

( -это степень экспоненты!!!)

=

Кривая распределения в этом случае имеет вид

38. Схема Пуассона.

С увеличением   чаще всего используют схему Пуассона. Эта схема является предельным случаем схемы Бернулли, в котором предполагается, что вероятность  события   не является постоянной, а зависит от числа испытаний   таким образом, что величина   остается постоянной. В этом случае оценка вероятности того, что событие   наступит   раз, определяется предельной теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона

Теорема: Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний   достаточно велико, то вероятность того, что событие   наступит   раз, приближенно равна:

где  .

Доказательство: Пусть даны:

 – вероятность наступления события   в одном испытании;

 – число независимых испытаний. Обозначим  . Откуда  . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом   и сравнительно небольшом   все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.:

.

Учитывая то, что   достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при  , т.е., поскольку:

,

справедливо равенство:

Опр.закон распределения СВ-закон Пуассона при ( )

39.Показательное распределение и его свойства.

Непрерывная величина имеет показательное распределение, если ее функция плотности распределения имеет вид

Кривая распределения имеет вид (=0,5)

4 0.Функция распределения Дв св и её свойства

Функцией распределения ДвСВ (дискретной или непрерывной) называется вещественная функция , сопоставляющая любой упорядоченной паре действительных чисел , вероятность события, состоящего в том, что одновременно случайная величина примет значение меньшее чем , а случайная величина соответственно значение меньшее чем . То есть .

Функция распределения ДвСВ обладает следующими свойствами:

1) ;

2) является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов;

3) верны следующие предельные соотношения:

, , ,

, .