1.3. Общезначимые формулы

Тавтологии также называют общезначимыми формулами.

Для установления того, является ли некоторая формула общезначимой, достаточно построить ее истинностную таблицу и убедиться, что всегда получается лишь значение 1.

Приведем основные общезначимые формулы (тавтологии):

Тавтологии, выражающие свойства конъюнкции и дизъюнкции:

Тавтологии, выражающие свойства импликации и эквивалентности:

Тавтологии, выражающие замену одних операций другими:

Правила получения тавтологий.

1. Правило заключения.

2. Правило подстановки.

1.4. Логическое следование формул (отношение логического следования формул)

Формула G называется логическим следствием формулы F (логически следует из формулы F), пишут F|=G, если для любой интерпретации α переменных в F, G, для которой F(α) = 1, имеет место и G(α) = 1. Обобщение:

Признак логического следствия:

1.5. Равносильность формул (отношение равносильности)

Чтобы проверить равносильность двух формул F и G, надо построить таблицу истинности обеих формул и убедиться, что значения истинности получающихся из них высказываний одинаковы для любых одинаковых наборов значений пропозициональных переменных.

Признак равносильности формул:

Две формулы F и G равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность F↔G является тавтологией.

Отношение равносильности формул рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности.

Справедливы следующие равносильности:

Лемма. Если в формуле некоторую ее подформулу заменить на равносильную ей формулу, то полученная формула будет равносильна исходной:

Данная лемма служит основанием для упрощения формул путем равносильных преобразований (т.е.переходя от одной формулы к равносильной ей).

Равносильные преобразования также применяются для приведения формул к специальной форме (виду).

1.6. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

Теорема.

Каждая не тождественно ложная формула от n переменных имеет единственную совершенную дизъюнктивную нормальную форму.

Каждая не тождественно истинная формула от n переменных имеет единственную совершенную конъюнктивную нормальную форму.

Алгоритм отыскания СДНФ:

.

Алгоритм отыскания СКНФ:

.

1.7. Формализованное исчисление высказываний

Исчисление высказываний – это формальная теория L, в которой определены следующие компоненты:

1. Алфавит:

,  есть логические связки;

( , ) есть служебные символы;

X₁,X₂,…,X_n есть пропозициональные переменные.

2. Формулы:

3. Аксиомы (схемы аксиом):

А1: (F(GF));

А2: ((F(GH))((FG)(FH)));

А3: ((G  F)((GF)G)),

где F, G, H –произвольные формулы.

4. Правило вывода: Modus ponens (правило отделения).

Здесь F и G – любые формулы.

Таким образом, множество аксиом теории L бесконечно, хотя задано 3-мя схемами аксиом. Множество правил вывода также бесконечно, хотя оно задано только одной схемой.

При записи формул лишние скобки опускаются, если это не вызывает недоразумений. Другие связки вводятся определениями (но не аксиомами):

Любая формула, содержащая эти связки, рассматривается как синтаксическое сокращение собственной формулы теории L.

По определению, каждая аксиома является теоремой; ее доказательством служит она сама.

1.8. Теорема о дедукции

Теорема (о дедукции).

Следствие 1.

Следствие 2.

Одно из применений теоремы дедукции заключается в следующем. Пусть требуется доказать утверждение вида Г|-A→B. Вместо этого доказывают утверждение Г, A|-B, что часто бывает легче сделать, и требуемое утверждение получают по теореме дедукции.

1.9. Полнота , непротиворечивость и разрешимость исчисления высказываний

Полнота формализованного исчисления высказываний состоит в совпадении множества доказуемых формул с множеством тавтологий.

Теорема1. Если |-F, то |=F. Другими словами: всякая доказуемая в исчислении высказываний формула является тавтологией.

Доказательство.

Каждая аксиома является общезначимой формулой. Из общезначимых формул по правилу отделения получается снова общезначимая формула. Следовательно, в любом доказательстве в ИВ любая формула, в том числе последняя, общезначима. 

Теорема 2. Если |=F, то |-F . Другими словами: всякая тавтология доказуема в формализованном исчислении высказываний.

Объединив обе теоремы, получим теорему о полноте:

Теорема (о полноте).

Аксиоматическая теория полна, если присоединение к ее аксиомам формулы, не являющейся теоремой, делает теорию противоречивой.

Аксиоматическая теория непротиворечива, если в ней нельзя доказать как формулу F, так и ее отрицание ¬F.

Следствие (теорема о непротиворечивости).

В исчислении высказываний невозможно доказать формулу и ее отрицание.

Доказательство (от противного).

В самом деле, если для некоторой формулы F возможно одновременно |-F и |-¬F, то по теореме1 будет одновременно |=F и |= ¬F, что противоречит определению общезначимости. 

Аксиоматическая теория называется разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий для любого утверждения, сформулированного в терминах теории, ответить на вопрос, будет или нет это утверждение теоремой данной теории.

Исчисление высказываний разрешимо, если существует алгоритм, позволяющий для любой формулы установить, доказуема она или нет.

Теорема (теорема о разрешимости).

Формализованное исчисление высказываний есть разрешимая аксиоматическая теория.

Исчисление высказываний непротиворечиво, полно и разрешимо.