- •Часть 1 Числовые методы
- •Раздел 1
- •Тема 1.1 Точность вычислительного эксперимента на эвм.
- •§ 1.1.1 Приближенные числа
- •§ 1.1.2. Погрешность приближенных чисел.
- •§ 1.1.3. Погрешность математических операций над приближенными числами.
- •§ 1.1.4 Характеристики методов вычислений.
- •Раздел 1
- •Тема 2. Исчисление конечных разностей. Разностные уравнения.
- •§ 1.2.1 Табличное представление функций. Система обозначений. Операторы.
- •§ 1.2.2. Разностные операторы. Таблицы конечных разностей.
- •§ 1.2.3. Разностные уравнения
- •Раздел 2
- •Тема 2.1. Прикладные задачи интерполяции и аппроксимации и их алгоритмизация. Методы и алгоритмы решения линейных алгебраических уравнений
- •§ 2.1.1. Основные понятия теории приближения функций.
- •§ 2.1.2. Интерполяция многочленами с неравномерными и кратными узлами.
- •Можно и не вычислять коэффициенты Pn(X), а записать интерполяционную формулу, в виде уравнения прямой, проходящей через две координаты точки на плоскости, координаты которых известны.
- •§ 2.1.3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Раскроем знак суммы относительно неизвестных a0 и a1
- •§ 2.1.4 Методы и алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •Раздел 2. Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения
- •Тема 2.2.Прикладные задачи численного дифференцирования и интегрирования.
- •§ 2.2.1 Методы численного дифференцирования
- •§ 2.2.2.Методы численного интегрирования
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Раздел 2
- •Тема 2.3 Системы линейных дифференциальных уравнений и их решение на эвм
- •§ 2.3.1 Основные понятия и определения
- •§ 2.3.2 Алгоритмы решения задачи Коши
- •§ 2.3.3 Алгоритм решения краевой задачи оду.
- •Раздел 2
- •Тема 2.4 Дифференциальные уравнения в частных производных и их численное решение на эвм.
- •§ 2.4.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных
- •§ 2.4.2 Метод сеток и алгоритмы его реализации
- •§ 2.4.3 Алгоритмы решения параболического уравнения
- •Раздел 3 Численное определение нулей и экстремумов функций
- •Тема 3.1. Методы и алгоритмы нахождение нулей функций
- •§ 3.1.1. Численное решение рациональных и трансцендентных уравнений
- •Пример 1
- •Метод простых итераций
- •Пример 3
- •§ 3.1.2. Нахождение действительных и комплексных корней многочленов
- •§ 3.2.1. Основные понятия и определения
- •Пример 1
- •§ 3.2.2 Методы решения задач оптимизации
- •§ 3.2.3. Задача поиска одномерного, локального безусловного оптимума.
- •§ 3.2.4 Задачи многомерной оптимизации
§ 1.1.2. Погрешность приближенных чисел.
Различают два вида погрешности ПЧ - абсолютную и относительную. Если точное число обозначить А, а приближенное а, то абсолютная погрешность числа а - x равна разности между его истинным (точным) значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления, счета или измерения - a.
x =А – a
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению ПЧ - =x/А в процентах или промилле (тысячные доли). Так как истинное значение А часто неизвестно, приходиться пользоваться предельной абсолютной погрешностью - a приближенного числа, a равной по возможности наименьшему числу, для которого выполняется неравенство
x =А – a a
Значение a и a позволяют указать интервал, который содержит точное значение А:
а – a А a+a или более компактно А= a a.
Для ПЧ в качестве предельной абсолютной погрешности в широком смысле принято брать единицу последнего разряда числа (a = 1·10m-n+1), а в узком смысле - половину единицы последнего разряда числа (a = 1/2·10m-n+1). Тогда предельная относительная погрешность будет
a=a /a.
Так для приближенного числа С =100 предельная абсолютная погрешность в широком смысле с = 1·102-3+1 = 100 = 1.
Таким образом – С = 100 ± 1. Для этого же числа предельная абсолютная погрешность в узком смысле будет равна 0.5 - С = 101 ± 0.5 , а a = 0.5/100 = 0.005.
Если задано приближенное число и его абсолютная погрешность x, то число n первых значащих цифр (десятичных знаков) ПЧ являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n –й значащей цифрой, считая слева направо.
Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего точное число А, известно, что
x = =А – a≤ (1/2·10m-n+1),
то первые n цифр этого числа являются верными. Например, если заданно число 72. 353 с погрешностью (0.026). Число значащих цифр, - 5. Число верных цифр в узком смысле - 3, так как для четвертой цифры 5 (a = 0.005), а заданная погрешность больше. Поэтому исходное число можно округлить с избытком - 72.4 (0.026).
Сомнительной цифрой называется цифра, стоящая после верной.
Если имеется приближенное число, а его погрешность не задана, то оценивают предельную допустимую погрешность в узком или широком смысле.
При задании исходных данных в виде ПЧ надо записать необходимое число значащих цифр, абсолютную, относительную или предельную погрешность.
§ 1.1.3. Погрешность математических операций над приближенными числами.
При выполнении математических операций над ПЧ необходимо использовать следующие правила:
1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы чисел, равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых;
Относительная погрешность произведения и частного равна сумме относительных погрешностей операндов;
Относительная погрешность n - ой степени ПЧ в n раз больше относительной погрешности данного числа.
(a b) = a+b; (a*b) = a+b; (a/b) = a+b; (a к) = к a.
Для оценки погрешности функции y = f (x) используют выражение y = f (a) a.
В практических вычислениях с большим числом операций погрешность каждой операции обычно не определяется. Вместо этого используют правила округления результатов действий над ПЧ в зависимости от числа верных десятичных знаков в исходных данных. Десятичными знаками ПЧ называют всех его верные цифры, которые стоят по правую сторону после запятой.
При сложении и вычитании ПЧ в результате сохраняется столько десятичных знаков, сколько их в приближенном исходном числе с наименьшим числом значащих цифр;
При умножении и делении в результате сохраняется столько цифр, которые значат, сколько их в близком входном числе с наименьшим числом значащих цифр;
При возведении в n степень ПЧ в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в приближенном исходном числе.
Во всех промежуточных результатах необходимо брать на одну цифру больше, чем рекомендуется в предыдущих правилах. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.
Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (в правиле 1) или больше значащих цифр (в правилах 2 и 3), чем другие, то их следует заранее округлить, сохранив одну лишнюю цифру.
Если исходные данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k верными цифрами исходные данные берутся с таким числом верных цифр, которое даст согласно правилам (1-3) k+ 1 цифру в результате.
При соблюдении этих правил окончательный результат почти всегда будет иметь все верные цифры.