Раздел 2. Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения

Тема 2.2.Прикладные задачи численного дифференцирования и интегрирования.

Если первая производная позволяет

нам для данного момента времени

описать характер какого-либо

движения, то вторая помогает

проникнуть в его скрытые причины

Вильям Томсон (лорд Кельвин)

1824-1907

§ 2.2.1 Методы численного дифференцирования

Численная реализация оператора дифференцирования, если функция задана таблично, может быть осуществлена принципиально двумя способами:

1. Приближением производной с помощью отношения конечных разностей.

2. Приближением производной через значения функции в узлах таблицы.

Использование конечных разностей осуществляется двумя способами:

1. Непосредственное использование первых разностей.

Если известна таблица функции и первые разности, то производная в точке х₁ следующим образом

Таблица 1

xi	yi	разности
x0	y0	y = y1- y0
x1	y1	y = y2 - y1
x2	y2	y = y2 – y0

dy / dx = ( y₂ – y₁ ) / h - с помощью левой восходящей разности

dy / dx = ( y₁ – y₀ ) / h - с помощью правой нисходящей разности

dy / dx = ( y₂ – y₀) / 2h - с помощью центральной разности, где h – шаг табличной функции.

Пример 1. Вычислить производную в точке х = 1 для функции y = x³, если известна таблица функции.

Таблица 2

x	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1
y	0.343	0.512	0.729	1.0	1.331
			y0	y1	y2

Выберем два значения табличной функции справа (y₂) и слева (y₀) от точки, в которой надо вычислить значение производной. Используя таблицу 1, вычислим значения производной.

f(x, h) = y' (1;0.1) = [y(1.1) - y(1.0)]/0.1 = (1.331 - 1.0)/0.1 = 3.31

f(x, h) = y'(1;0.1) = [y(1.0) - y(0.9)]/0.1 = (1-0.729)/0.1 = 2.71

f(x, 2h) = y'(1;0.2) = [y(1.1) - y(0.9)]/0.1 = (1.331 - 0.729)/0.2 = 3.01

Точное значение производной y' (1) = 3 1.0² = 3 (конечно-разностный метод имеет первый порядок точности). Как видно на примере, наименьшую погрешность дает формула центральной разности (абсолютная погрешность 0.01; относительная погрешность 0.33%).

Производную можно вычислять численно через значения функции, если использовать интерполяционный полином Лагранжа. Для трех узлов табличной функции с постоянным шагом производная от интерполяционного полинома Лагранжа имеет следующий вид:

Для вычисления производной в точке x₀ в общую формулу подставим x = x₀ , и раскроем скобки.

Если провести вычисления и привести подобные, то можно получить выражение для вычисления производной по трем значениям табличной функции

По аналогии для x = x₁

и для x = x₂. Видно, что это центральная разность.

Пример 2.

Вычислить производную для той же табличной функции в точке х = 0.9 по формуле Лагранжа. Выделим три значения функции: y₀ = 0.729; y₁ =1.0; y₂ = 1.331.

y' (0.9;0.1) =1/0.2(-30.729+41.0 - 1.331)= 2.41. Точное значение производной 30.9²= 2.43, что значительно точнее, чем через первые разности.

Можно взять и другие точки: y₀ =0.343; y₁ =0.512; y₂ = 0.729.

Тогда производную надо вычислять по другой формуле y' (0.9;0.1) =1/0.2(0.343 -40.512 + 30.729)= 2.41.

Тот же результат.

Смысл там, где змеи интеграла

Меж цифр и букв, меж d и f !

Валерий Брюсов (1873-1924)