§ 2.1.2. Интерполяция многочленами с неравномерными и кратными узлами.

Интерполяция представляет собой точечную аппроксимацию функций. Задача ставится следующим образом: для данной табличной функции {X_i,Y_i} со значениями в n +1 точке, построить функцию y = f(x) в форме степенного многочлена степени Pn (x) не выше n, принимающего в заданных точках те же значения, что и функция {X_i,Y_i}, т.е. v(xi) = yi

i = 1,2,... n при условии, что среди значений xi нет одинаковых, т.е. xi ≠ xk при i ≠ k.

Для отыскания коэффициентов полинома используется 3 типа методов:

1. Построение Pn (x) по значениям функции {X_i,Y_i}.

2. Построение полинома с использованием разностей {X_i,Y_i}.

3. Итерационные методы.

Подробно образом рассмотрим две разновидности первой группы методов. Остальные методы подробно описаны в рекомендованной литературе.

1. Интерполяция с помощью линейного полинома.

Так, при значениях табличной функции n +1=2 Pn(x) = a₀ + a₁x. Для получения a₀, a₁ воспользуемся значением xi, yi. Для этого нужны две узловые точки (x₀, y₀), (x₁, y₁)_, . Тогда, по заданному критерию нужно решить систему из двух уравнений, что позволяет найти значения a0 и a1:

a₀ + x₀ a₁ = y₀

a₀ + x₁ a₁ = y₁

Пример 1. x₀ = 1 y₀ =5.2 , x₁ = 2, y₁ = 8.6

Решив эту систему методом Крамера, получим a₀ = 1.8; a₁= 3.4. Легко проверить, что условие соблюдается, так как Pn(x) = 1.8 + 3.4x . По этому выражению можно вычислить значение y_i между узлами. Например, при x= 1.3 y_i= 6.22.

Можно и не вычислять коэффициенты Pn(X), а записать интерполяционную формулу, в виде уравнения прямой, проходящей через две координаты точки на плоскости, координаты которых известны.

y_i = (x-x₀)/(x₁-x₀)×( y₁ - y₀) + y₀

Это формула линейной интерполяции.

Если имеется три узла можно получить коэффициенты интерполяционного полинома второй степени: Pn(x) = a₀ + a₁x + a₂x² , решив систему из трех линейных алгебраических уравнений. Однако при большом количестве экспериментальных точек это не всегда эффективно.

2. Интерполяционный полином, формулу для которого предложил математик Ж. Лагранж в 1793 году.

При наличии n+1 узлов

, где

, где знак ´

штрих у знака произведения означает “исключая j – е значение”

Так при n=1 полиномы L(x) запишутся так:

При n=2

При n=3 будет четыре слагаемых и т. д. При кратных узлах вычисления полинома упрощаются.

Если число узлов табличной функции велико (особенно при проведении эксперимента), то для приближения аналитической функции используют метод аппроксимации.

§ 2.1.3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.

При использовании этого метода пользуются вторым критерием согласия: сумма квадратов отклонений в узловых точках [Yi- f(X_i)]² должна быть наименьшей (минимальной) и выбирают вид аппроксимирующей функции.

Допустим f(X_i) = a₀ + a₁x, т.е. искомая функция является линейной. Поставим условие, чтобы мера приближения была среднеквадратичной, т.е.

Поставим условие, чтобы S → min. Таким образом, задача аппроксимации сводится к решению задачи оптимизации.

S =  [Y_i - (a₀ + a₁x_i)]² - функция двух переменных, т.е. для решения задачи аналитически надо найти частные производные S/a₀ и S/a₁, а затем приравнять их к нулю.