- •Часть 1 Числовые методы
- •Раздел 1
- •Тема 1.1 Точность вычислительного эксперимента на эвм.
- •§ 1.1.1 Приближенные числа
- •§ 1.1.2. Погрешность приближенных чисел.
- •§ 1.1.3. Погрешность математических операций над приближенными числами.
- •§ 1.1.4 Характеристики методов вычислений.
- •§ 1.2.1 Табличное представление функций. Система обозначений. Операторы.
- •§ 1.2.2. Разностные операторы. Таблицы конечных разностей.
- •§ 1.2.3. Разностные уравнения
- •Раздел 2
- •Тема 2.1. Прикладные задачи интерполяции и аппроксимации и их алгоритмизация. Методы и алгоритмы решения линейных алгебраических уравнений
- •§ 2.1.1. Основные понятия теории приближения функций.
- •Раздел 1
- •Тема 2. Исчисление конечных разностей. Разностные уравнения.
- •§ 2.1.2. Интерполяция многочленами с неравномерными и кратными узлами.
- •Можно и не вычислять коэффициенты Pn(X), а записать интерполяционную формулу, в виде уравнения прямой, проходящей через две координаты точки на плоскости, координаты которых известны.
- •§ 2.1.3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Раскроем знак суммы относительно неизвестных a0 и a1
- •§ 2.1.4 Методы и алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •Раздел 2. Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения
- •Тема 2.2.Прикладные задачи численного дифференцирования и интегрирования.
- •§ 2.2.1 Методы численного дифференцирования
- •§ 2.2.2.Методы численного интегрирования
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Раздел 2
- •Тема 2.3 Системы линейных дифференциальных уравнений и их решение на эвм
- •§ 2.3.1 Основные понятия и определения
- •§ 2.3.2 Алгоритмы решения задачи Коши
- •§ 2.3.3 Алгоритм решения краевой задачи оду.
- •Раздел 2
- •Тема 2.4 Дифференциальные уравнения в частных производных и их численное решение на эвм.
- •§ 2.4.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных
- •§ 2.4.2 Метод сеток и алгоритмы его реализации
- •§ 2.4.3 Алгоритмы решения параболического уравнения
- •Раздел 3 Численное определение нулей и экстремумов функций
- •Тема 3.1. Методы и алгоритмы нахождение нулей функций
- •§ 3.1.1. Численное решение рациональных и трансцендентных уравнений
- •Пример 1
- •Метод простых итераций
- •Пример 3
- •§ 3.1.2. Нахождение действительных и комплексных корней многочленов
- •§ 3.2.1. Основные понятия и определения
- •Пример 1
- •§ 3.2.2 Методы решения задач оптимизации
- •§ 3.2.3. Задача поиска одномерного, локального безусловного оптимума.
- •§ 3.2.4 Задачи многомерной оптимизации
§ 1.1.4 Характеристики методов вычислений.
В вычислительной математике в основном применяют следующие методы вычислений:
Качественный;
Аналитический;
Численный.
Например, теорема о корнях многочлена позволяет оценить качественно количество его корней, исходя из степени многочлена. Примером аналитического метода может служить способ Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений. Методы, которые могут быть сведены или сводятся к последовательности арифметических действий над приближенными числами, называют численными.
Каждый численный метод (ЧМ) можно охарактеризовать погрешностью, устойчивостью, корректностью и сходимостью. Погрешность ЧМ зависит от погрешности исходных данных (они неустранимы), погрешности алгоритма реализации метода (может быть уменьшена до разумной границы), погрешности вычислений на ЭВМ (как правило, имеет - мах 0.5 10-8).
ЧМ считают устойчивым, если малые погрешности в исходных данных приводят к малым погрешностям в результатах расчетов.
Задача, которая решается ЧМ, называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и конечно.
Под сходимостью численного метода принято понимать близость численного решения к истинному результату. Различают понятие сходимости итерационного процесса ЧМ и сходимости при использовании средства дискретизации исходной задачи. Они будут рассмотрены при изучении соответствующих ЧМ.
Тестовые задания для самопроверки усвоения темы.