10.Графический метод решения антагонистической игры.

Суть графического метода состоит в том, что из матрицы удаляют дублирующие и поглощаемые строки и столбцы. Дублирующими называют полностью одинаковые строки или столбцы. Доминирующей строкой называется такая строка, которая содержит элементы, большие или равные соответствующим элементам другой строки, называемой поглощаемой. Доминирующим столбцом называется такой, который содержит элементы, меньше или равные соответствующим элементам другого столбца, который называется поглощаемым.

Стратегии	В1	В2	В3	В4	В5
А1	5	8	7	5	4
А2	1	10	5	5	6
А3	2	4	3	6	2
А4	3	5	4	4	3

Стратегии	В1	В5
А1	5	4
А2	1	6

Строка (стратегия) А1 является доминирующей по отношению к строке (стратегии) А4 , так как содержит элементы, большие соответствующих элементов строки А4 . Соответственно строка А4 является поглощаемой и из дальнейшего рассмотрения удаляется.

Первый столбец является доминирующим по отношению ко второму, третьему и четвертому столбцам (поглощаемым). Поступаем аналогично. И т.д.

H (p,1) = a₁₁p + a₂₁(1-p) = (a₁₁ – a₂₁)p + a₂₁

H (p,0) = a₁₂p + a₂₂(1-p)

H (0,q) = a₂₁q + a₂₂(1-q)

\H (1,q) = a₁₁q + a₁₂(1-q)

При решении игры с матрицей 2xn, также рисуем графики, где будет n линий, ищем нижнюю огибающую, потом берем 2 столбца из матрицы, которые соответствуют пересечению двух линий, где у 1го игрока maxmin. И решаем задачу 2x2 относительно 2го игрока.

Для решения игры mx2 делаем все то же самое, только ищем верхнюю огибающую.

11.Графический метод решения задач линейного программирования

Г рафический метод основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

ЦФ определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих полуплоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых планов (ОДП). ОДП всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. Хар-ки ОДП –непустота (пустота), ограниченность.

ОДП графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. Если ограничения заданы неравенствами то это стандартная форма, если равенствами – каноническая. При образовании канонической формы к неравенствам добавляются переменные со знаком минус.

ЦФ L(x) = c₁x₁+c₂x₂ при фиксированном значении L определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Вектор C = (c₁, c₂) с координатами из коэффициентов ЦФ перпендикулярен к каждой из линий уровня – градиент. Направление вектор C совпадает с направлением возрастания ЦФ.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (или против направления) вектора C в ОДР производится поиск оптимальной точки X = (x₁,x₂). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня L, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптимум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

План называется допустимым планом, если он удовлетворяет системе ограничений. ЗЛП требует, чтобы среди всех допустимых планов, был найден тот, на котором ЦФ достигает искомого экстремального значения. Такой план называется оптимальным. Значение ЦФ на этом плане – оптимум.