83.Теневые цены (двойственные оценки) в задачах линейного программирования

Теневая цена показывает предельную эффективность ресурсов, т.е. тот дополнительный результат, который можно получить при использовании дополнительной единицы данного ресурса.

Если закупочная цена < теневой, то ресурс выгодно покупать, в противном случае — продавать. Теневая цена = 0, если ресурс избыточный.

= y_i — предельная эффективность ресурса b_i. (третья теорема двойственности — теорема об оценках)  Z^*=CX^*=Y^*B → → . 

Теневую цену можно узнать а) решив двойственную задачу, б) поиск решения → отчёт по устойчивости.

84. Теоремы двойственности в линейном программировании

Лемма о связи целевых функций сопряжённых задач

Рассмотрим пару сопряжённых задач.

Пусть X, Y — допустимые планы этих задач. Тогда имеет место: CX≤YB.

 AX≤B → YAX≤YB; YA≥C → YAX≥CX;  CX≤YAX≤YB 

Теорема 1. Основная теорема двойственности

Рассмотрим пару сопряжённых задач.

п.1. Если разрешима одна из этих задач, то разрешима и другая (неразрешима одна → неразрешима и другая).

п.2. Если задачи разрешимы, то их оптимумы равны. CX^*=Y^*AX^*=Y^*B

п.3. Если целевая функция одной задачи неограниченна в направлении своего экстремума, то ОДП другой задачи — пусто.

Доказательство пп. 1-2 основано на детальном исследовании симплекс-метода.

Теорема 2. Теорема о равновесии.

Рассмотрим пару сопряжённых задач. Рассмотрим какие-нибудь ОДП этих задач: X⁰ и Y⁰.

Эти планы являются оптимальными тогда и только тогда, когда строгим неравенствам-ограничениям одной задачи соответствуют нулевые компоненты плана другой задачи и ненулевым компонентам плана одной задачи соответствуют ограничения равенства другой.

 CX≤YAX≤YB → C X⁰≤Y⁰AX⁰≤Y⁰B → C X⁰ = Y⁰AX⁰ = Y⁰B →

1. C X⁰ − Y⁰AX⁰ =0 → (C − Y⁰A)X⁰ = 0 →

2. Y⁰B − Y⁰AX⁰ =0 → Y⁰(B− AX⁰)=0 → 

Теорема 3. Теорема об оценках.

Рассмотрим пару сопряжённых задач. Пусть матрица A — невырожденная (её ранг максимален). Рассмотрим оптимум исходной задачи Z^*=CX^* как функцию от правых частей ограничений задачи (B): Z^*= Z^*(b_1,…,b_m).

— предельная эффективность ресурса b_i.

Предельная эффективность ресурса равна соответствующей компоненте оптимального плана двойственной задачи.

 Z^*=CX^*=Y^*B → → . 

85. Технология разработки математических моделей оптимального управления экономикой

Необходимо выделить элементы и этапы моделирования.

Элементы моделирования:

1. Цели

   1. Цели исследования

   2. Цели систем

2. Исследователь

   1. Лица формирующие решения

   2. Лицо принимающее решение

3. Ресурсы (ограничения). Ресурсы всегда ограничены.

4. Альтернативы

   1. Альтернативы выбора управленческих воздействий

   2. Альтернативы изменения состояния под воздействием управления

5. Критерий

   1. Оптимизационный

   2. Сатисфакционный (удовлетворяет критерию или нет)

Этапы разработки математической модели:

1. Разработка концептуальной модели (словесное описание исходной ситуации с использованием графиков, чертежей).

2. Разделение характеристик, описывающих систему на переменные решения и параметры среды.

между множество связующих сигналов – Ω

3. Анализ имеющейся о среде информации

может быть детерминированная и неопределенная, неопределенная делится на стохастическую, целенаправленную и неизвестную.

4. Формализация отношений, ограничивающих выбор. Получаем множество допустимых альтернатив.

5. Формализация критерия выбора.

Если решение описывается вектором, не зависящем от t, то модель статическая, а все алгоритмы наз-ся вектором.

Если решение описывается вектором, зависящем от t, то модель динамическая, а все алгоритмы наз-ся оптимальным управлением.