35.Моделирование случайных чисел с равномерным распределением. Формирование случайных чисел с заданным законом распределения.

Необходимость получения случайных чисел подчиняющихся распределению определенного вида при моделировании связана со случайным характером изучаемых процессов. Для получения таких чисел служит равномерно распределенная последовательность случайных чисел на интервале [0, 1), которая используется для получения случайных чисел любого типа распределения. В программное обеспечение ЭВМ включены специальные программы - датчики случайных чисел, обращение к которым приводит к выдаче случайного значения в интервале [0, 1). Число значащих цифр зависит от реализации датчика случайных чисел и возможностей ЭВМ. Для описания системы с очередью и одним прибором необходим именно такой генератор. Обычно генератор задан в виде функции и выдает шестизначное случайное число, равномерно распределенное на интервале от 0,000000 до 0,999999 включительно. Для удобства дальнейшего изложения будем считать, что эта функция имеет имя RAND.

Алгоритмов генерирования случайных чисел достаточно много чаще всего используется следующий. Представим для простоты, что необходимо генерировать случайные четырехзначные равномерно распределенные число на интервале от 0,0000 до 0,9999 включительно. Для этого в алгоритме используют два положительных, нечетных целых числа, каждое из которых может содержать до четырех цифр. Первое из этих двух чисел, никогда не меняющее свое значение называется "ядром", второе, изменяющееся - "множителем". Каждый раз, когда надо получить новое случайное число, значение множителя изменяют в соответствии с некоторой последовательностью. Первым шагом алгоритма является умножение ядра на множитель. Результат (в общем случае) - восьмиразрядное целое число. Его используют для получения нового значения множителя, применяемого на следующем шаге алгоритма. При этом правые четыре цифры произведения используются в качестве нового множителя, средние, умноженные на 10^-4 - в качестве случайного числа.

Получаемая таким образом последовательность случайных чисел обладает двумя недостатками:

1. Множитель и ядро могут быть нулями.

2. Последовательность случайных чисел, выработанных ранее повторяется. Количество случайных чисел, выработанных прежде, чем они могут повторяться, называется периодом (или длиной) генератора случайных чисел.

Для рассматриваемой задачи с очередью и одним прибором, необходимо иметь целые значения равномерно распределенных случайных чисел для задания интервалов прибытия заявок и интервалов обслуживания. Специфика описания выборок случайных чисел приводит к необходимости определения наименьшего и наибольшего значения целых чисел в выборке. Например, необходимо установить, что время обслуживания распределено равномерно и заключено в интервале [12, 20]. Средним арифметическим выборки является 16, а размах (в статистическом смысле) 8. В имитационном моделировании размахом называют половину этой величины, что позволяет компактно записывать свойства выборки 16±4. Такую запись, общий вид которой A±B, часто используют для описания равномерного распределения, включающего целые значения от A-B до A+B, где A и B также целые

Случайное число из интервала A±B определяют добавлением к наименьшему возможному значению A-B "случайной доли" размаха (в статистическом смысле) 2*B. Значение датчика случайных чисел рассматривается как "случайная доля", т.е. значение целого равномерно распределенного случайного числа определяется как целая часть результата вычисления:

(A - B) + RAND*2*B

Однако при этом возникает проблема получения наибольшего значения A+B, т.к. максимальное значение датчика случайных чисел 0,999999. В этой связи вычисляют значение целого равномерно распределенного случайного числа по формуле:

(A - B) + RAND*(2*B+1)

Таким образом, если установлено 8±3, то имеем следующие равновероятные значения: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Вероятность получения каждого равна 1/7.

Кроме рассмотренного существуют другие методы генерирования случайных чисел. В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

• квадратов;

• произведений;

• мультипликативный конгруэнтный;

• смешанный конгруэнтный.

Существует два метода получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных на интервале [0,1) случайных чисел - с помощью аналитических преобразований или с использованием табличных преобразований. Рассмотрим эти методы.