30.Множественный корреляционный анализ.

Корреляционный анализ многомерной генеральной совокупности предполагает многомерный нормальный закон распределения этой совокупности. Данное предположение  обусловлено тем, что только при нормальном законе распределения отсутствие корреляции свидетельствует об отсутствии зависимости между компонентами случайного вектора X. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке k*(k + 3)/2 параметров, определяющих нормальный закон распределения k-мерного случайного вектора X. Этими параметрами являются k математических ожиданий µ₁, ..., µ_k  и k дисперсий Dx₁, ..., Dx_k компонентов вектора, а также k*(k-1)/2 парных коэффициентов корреляции.

 ρ_ij = ρ(x_i,x_j) = M[(x_i - µ_i)*(x_j - µ_j)]/(Dx_i*Dx_j)^1/2

При этом корреляционная матрица R

симметрична и положительно определена. В множественном корреляционном анализе используется понятие параметров связи некоторого порядка. Частным коэффициентом корреляции m-го порядка является коэффициент корреляции между двумя компонентами при фиксированных m  компонентов из k-2 оставшихся. Компоненты для которых указывается коэффициент корреляции называются первичными, фиксируемые компоненты - вторичными. Они указываются в индексе коэффициента разделенные символом "/". Например ρ_12/45  коэффициент корреляции второго порядка, ρ₁₂ - нулевого порядка, ρ_12/456 - третьего порядка.

Частный коэффициент корреляции между x_i и x_j по отношению к величинам x₁, x₂, ...x_i-1, x_i+1, ..., x_j-1, x_j+1, ..., x_k (порядок k - 2)

ρ_ij/1...k = R_ij/(R_ii*R_jj)^1/2

где:  R_ij - алгебраическое дополнение к элементу ρ_ij корреляционной матрицы R;

        R_ii - алгебраическое дополнение к элементу ρ_ii корреляционной матрицы R;

        R_jj - алгебраическое дополнение к элементу ρ_jj корреляционной матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции R_i0 между x_i и  x₁, x₂, ...x_i-1, x_i+1, ...,  x_k вычисляется по формуле:

R_i0 = (1 - |R|/R_ii)^1/2  

Иногда используется квадрат множественного коэффициента корреляции R²_i0 , который называется коэффициентом детерминации.  Коэффициенты детерминации обладают свойством:

R²_1/2 ≤ R²_1/23 ≤R²_1/234 ≤ ... ≤R²_1/2,...k

Данная цепочка неравенств указывает на то, что коэффициент множественной детерминации не уменьшается при прибавлении компонентов, относительно которых вычисляется коэффициент.

Проверка значимости частных коэффициентов корреляции различных порядков осуществляется по тому же критерию (таблице критических значений r_кр), по которому проверяется значимость частного коэффициента корреляции  нулевого порядка. Однако, число степеней свободы в этом случае равно ν = n - m - 2, где n - объем выборки, m - порядок связи.

Проверка значимости коэффициента детерминации (следовательно и множественного коэффициента корреляции) осуществляется с помощью F - статистики при числах степеней свободы ν₁ = m, ν₂ = n - m - 1:

F_расч = r²_g*(n - m -1)/[m*(1 - r²_g )]

r²_g - оценка множественного коэффициента корреляции.