26.Метод канонических корреляций.

Метод канонических корреляций является обобщением парной корреляции и позволяет находить максимальные корреляционные связи между двумя группами случайных величин. Эта зависимость определяется при помощи новых аргументов - канонических величин (канонических переменных), вычисленных как линейные комбинации исходных признаков по каждой из групп. Эти канонические величины должны максимально коррелировать между собой, а их число определяется по числу переменных в меньшем множестве (если число переменных в них не одинаково).

Например, эффективность работы предприятий оценивается такими показателями как производительность труда, фондоотдача основных фондов, прибыль, рентабельность и другими. Факторами, влияющими на показатели, являются численность работающих, стоимость основных фондов, оборачиваемость оборотных средств, удельный вес потерь от брака, трудоемкость единицы продукции, коэффициент сменности работы оборудования и тому подобные. Метод канонических корреляций позволяет анализировать взаимосвязь нескольких выходных показателей и большого числа определяющих факторов.

Пусть имеется k-мерный случайный вектор X. Не умаляя общности, можем предположить, что математическое ожидание вектора равно нулю, дисперсии компонент равны единице, корреляционная матрица R положительно определена. Вектор X разбивается на два подвектора X₁ и X₂ размерности m и p соответственно. При этом m + p = k и m ≤  p. Подвекторы образуют две группы показателей. Задача заключается в выявлении максимальных связей между этими группами. Для этого вводят новые переменные (канонические переменные) d₁₁ и d₁₂ :

d₁₁ = a₁*x₁₁+a₂*x₂₁+ ... a_i*x_i1+ ... +a_m*x_m1

d₁₂ = b₁*x₁₂+b₂*x₂₂+ ... b_j*x_j2+ ... +b_p*x_p2

d₁₁ и d₁₂ - первая пара канонических переменных

x_i1 - i-я компонента подвектора X₁ ;

x_j2 - j-я компонента подвектора X₂ ;

a_i и b_j - коэффициенты;

i = 1, ..., m; j = 1, ..., p.

Корреляция между d₁₁ и d₁₂ должна быть максимальной среди всех других возможных линейных комбинаций (канонических переменных). Далее в каждой группе рассматриваются следующие линейные комбинации d₂₁ и d₂₂ , у которых корреляция больше, чем между любыми другими линейными комбинациями, не коррелированными с первыми линейными комбинациями. Затем по аналогии пары d₃₁ и d₃₂ , d₄₁ и d₄₂ и т.д. В общем случае должно быть m корреляций между каноническими переменными, которые не коррелируют с другими.

Общая корреляционная матрица X^т*X вектора  X может быть представлена совокупностью подматриц:

R11	R12
R21	R22

где R₁₁ - корреляционная матрица первой группы показателей размером m*m,

R₂₂ - корреляционная матрица второй группы показателей размером p*p,

R₁₂ и R₂₁ - корреляционные матрицы взаимных корреляций первой и второй групп показателей размером m*p и p*m соответственно.  Причем, R₁₂=R^т₂₁.

Далее определяется  матрица B размером m*m :

B= R^-1₁₁*R₁₂*R^-1₂₂*R₂₁

Собственные значения этой матрицы, ранжированные по убыванию, равняются квадратам коэффициентов канонических корреляций. Для разрешимости задачи необходимо, чтобы корреляционные матрицы R₁₁ и R₂₂ были положительно определены. Это означает, что в составе X₁ и X₂ не должны существовать линейно зависимые компоненты. В противном случае следует один или несколько показателей-факторов исключить.