Определяем параметры схемы:

1) ;

r₁ = z₁cosφ₁, r₁ = 20cos30⁰ = 17,3 Ом;

х_L = z₁sinφ₁, x_L = 20sin30⁰ = 10 Ом;

2) , ;

r₂ = z₂cosφ₂ , r₂ = 10cos45⁰ = 7 Ом;

х_С = z₂sinφ₂, x_С = 00sin45⁰ = 7 Ом;

3) , .

Для построения треугольника мощностей находим P, Q, S, используя метод активных и реактивных составляющих или проводимостей. По первому методу имеем

Σ I_a = 5cos30⁰ + 10cos45⁰ + 5cos0⁰ = 16,4 A;

Σ I_p = I_L – I_C = I₁sinφ₁ – I₂ sinφ₂;

Σ I_p = 5sin30⁰ – 10sin45⁰ = -4,57 A.

Знак «–» показывает преобладание тока через конденсатор.

Зная активные и реактивные составляющие тока, находим мощности:

P = U ·ΣI_а P = 100 · 16,4 = 1640 Вт;

Q = U (I_L – I_C) Q = 100 (-4,57) = -457 ВAр;

В масштабе строим треугольник мощностей.

При правильном расчете и построении он подобен треугольнику токов 0ав, а тангенс угла φ должен быть равным:

,

в чем нетрудно убедиться.

5.7. Реальная катушка индуктивности включена в цепь синусоидального переменного тока с частотой f = 50 Гц. Действующее значение напряжения 450 В. Амперметр показывал I = 8 А, ваттметр Р = 2000 Вт. Какую емкость конденсатора С необходимо включить для получения резонанса токов, и как изменится величина потребляемого из сети тока?

Рис. 5.7

Р е ш е н и е. Реальная катушка является активно-индуктивным сопротивлением, в ней ток отстает от напряжения на угол φ, который меньше 90⁰. Коэффициент мощности таких потребителей низкий cosφ < 1 (электрические двигатели, сварочные аппараты, люминесцентные лампы и др.). Включая параллельно катушке конденсатор, ток в котором опережает напряжение на 90⁰, мы можем значительно снизить потребляемый ток и повысить cosφ. При резонансе токов cosφ = 1.

Построим векторную диаграмму токов и треугольник мощностей, зная, что при подключении конденсатора активная мощность не изменится.

1. Определяем полную мощность, потребляемую катушкой:

S = UI_к; S = 8 · 450 = 3600 BА.

2. Определяем угол φ:

,

(cos φ = 0,55).

3. Определяем реактивную мощность, потребляемую катушкой:

Q = S · sinφ, Q = 3600 · sin 56⁰ = 2980 ВАр.

При резонансе токов мы полностью компенсируем эту реактивную мощность и потребляемый из сети ток уменьшится, что видно на векторной диаграмме.

4. Рассчитываем емкость конденсатора:

;

5. Потребляемый ток будет:

I = I_к cosφ;

I = 8 · 0,55 = 4,4 А.

Ток снижается практически в 2 раза, но для этого требуется большая емкость конденсаторов, поэтому на практике не стремятся достигнуть cosφ = 1, а удовлетворяются меньшими значениями, порядка 0,9. Это определяется экономическим обоснованием.

5.8. Определите символическим методом результирующий ток в цепи и потребляемые мощности. Параметры схемы: U = 200 B, r₁ = 2 Ом, r₂ = 6 Ом, r₃ = 16 Ом, x_L = 8 Ом, х_С = 12 Ом.

Р е ш е н и е. Изображаем сопротивление в комплексном виде и упрощаем схему так же, как делали на постоянном токе для смешанного соединения, заменяя параллельное соединение одним сопротивлением, а затем последовательное соединение тоже общим сопротивлением.

Имеем в общем виде:

;

;

;

;

.

1. Решаем в числах:

;

2. Определяем ток в цепи:

.

3. Определяем комплексную мощность:

;

.

Получаем S = 37,4 ВА, Р = 34,9 Вт, Q = 13,4 ВAр (индуктивное).