5.3. Последовательное соединение r, l, c элементов. Закон Ома

Второй закон Кирхгофа для данной цепи с последовательным соединением r-, L-, C-элементов (рис. 5.7), при векторном изображении величин будет выглядеть следующим образом:

Рис. 5.7

Строим векторную диаграмму (рис. 5.8), проводя операцию сложения векторов. За базовый вектор возьмем ток, так как при последовательном соединении он один. Получили треугольник напряжений из которого, зная значения составляющих напряжений, можно найти:

;

.

Рис. 5.8

Разделив стороны этого треугольника на ток, получим подобный треугольник, отражающий наличие и величины сопротивлений в данной цепи (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Здесь Z=U/I называется полным сопротивлением и определяется выражением:

.

Сдвиг по фазе между током и общим напряжением можно также найти из треугольника сопротивлений:

.

При положительном тангенсе ток отстает от напряжения, при отрицательном опережает его.

С учетом изложенного закон Ома для последовательного соединения имеет вид (в общем случае):

.

Однотипные сопротивления складываются арифметически.

5.4. Параллельное соединение r-, l-, c-элементов.

Зная закон Ома для последовательного соединения элементов и I закон Кирхгофа, для цепи с последовательным соединением r-, L-, C-элементов (рис. 5.10) можно найти токи в ветвях и общий ток как векторную сумму токов ветвей:

Рис. 5.10

, (отстающий);

, (опережающий).

Строим векторную диаграмму (рис. 5.11). За базовый вектор возьмем напряжение «U», общее для ветвей.

Рис. 5.11

Для аналитического расчета рассмотрим треугольник ABC.

В нем: .

В свою очередь:

AB = AF + FB = I₁cos₁ + I₂cos₂;

BC = BD – CD = I₁sin₁ - I₂sin₂.

Проекции токов на вектор напряжения называются активными составляющими тока.

Icos = I_a.

Проекции на ось, перпендикулярную напряжению, называются реактивными составляющими:

Isin I_p,

тогда

;

.

Этот метод расчета называется методом активных и реактивных составляющих.

5.5. Метод проводимостей

По закону Ома I = U/Z, а из треугольника сопротивлений cos = r/Z; sin = X/Z, тогда

I_a = Icos = (U/Z)(r/Z) = U(r/Z²) = Ug;

I_p = Isin = (U/Z)(X/Z) = U(X/Z²) = Ub,

где g =r/Z² – активная проводимость ветви;

b = X/Z² – реактивная проводимость (может быть b_L и b_C).

Заменяя активные и реактивные составляющие токов, рассмотренные в предыдущем методе, получим формулы для расчета общего тока и сдвига по фазе:

,

где – полная проводимость соединения.

.

Таким образом, методика расчета заключается в определении активных и реактивных проводимостей ветвей и по соответствующим формулам расчета тока и сдвига по фазе. Однотипные проводимости складываются арифметически.

5.6. Резонанс в электрических цепях

Резонансом называют такой режим цепи, имеющего L и C элементы, при котором сдвиг по фазе () между напряжением и током равен нулю.

При последовательном соединении элементов возможен резонанс напряжений при условии X_L = X_C. Тогда Z = r, U_L = U_C, U = U_r,  = 0, cos = 1, ток в цепи максимальный. Если реактивные сопротивления много больше активного, то на реактивных элементах появляются большие напряжения, которые значительно могут превышать напряжения сети. Это и используется для выделения полезного сигнала по напряжению. Одновременно необходимо учитывать опасность появления высоких напряжений на реактивных элементах цепи.

Резонанс напряжений возможен при любых параметрах L, C при определенной частоте тока, называемой резонансной (_о), которая находится из условия:

X_L = X_C, _oL = 1/_oC,

откуда , где .

При параллельном соединении при условии b_L = b_C имеем тоже резонансные явления. При этом y =g, I_L = I_C, I = I_a,  = 0, cos = 1, ток в цепи минимальный, в то же время токи I_L и I_C могут значительно превышать общий ток.

Это находит практическое применение в радиотехнике, а в электротехнике параллельное подключение конденсаторов к активно-индуктивной нагрузке применяется для снижения потребляемого тока и повышения cos, имеющего важное технико-экономическое значение.

Возможность получения резонанса тока для конкретной цепи определяется не только параметрами L и C, но и активными сопротивлениями ветвей, так как от них также зависит величина реактивных проводимостей (b_L и b_C).