Глава 6. Трехфазный ток

Трехфазная система синусоидальных токов является основной в электроснабжении промышленности и сельского хозяйства.

Трехфазные генераторы вырабатывают симметричную систему ЭДС (напряжений), одинаковых по величине и сдвинутых во времени друг относительно друга на 120 электрических градуса. Это достигается смещением обмоток (фаз) генератора в пространстве на соответствующие углы.

Применяются две основные схемы соединения фаз генератора и трехфазных потребителей: в “звезду” и в “треугольник”.

При соединении в “звезду” (рис. 6.1) концы фаз генератора (потребителя) соединяются в одну точку, которая называется нейтралью генератора (потребителя). От начал фаз генератора идут провода к потребителю, они называются линейными. Провод, соединяющий нейтрали генератора и потребителя, называется нулевым или нейтральным.

Таким образом, образуется трехфазная четырехпроводная система, наиболее распространенная. В ней различают фазные напряжения (U_Ф) – это напряжения между началом фазы и нейтралью (U_A, U_B, U_C), линейные напряжения (U_л) – напряжения между линейными проводами (U_AB,U_BC,U_CA) (рис. 14). Они опережают фазные на 30⁰, а соотношение между ними равно:

.

Рис. 6.1

Ток в линейных проводах называется линейным (I_л), в фазах генератора и потребителя – фазным (I_фг,I_фп). Для соединения в звезду фазные и линейные токи равны.

В общем случае, если сопротивления фаз потребителя различны по величине и фазе, расчет ведется для каждой фазы в отдельности по закону Ома:

.

Ток в нейтральном проводе по первому закону Кирхгофа определяется векторной суммой фазных токов:

.

Мощности также рассчитываются для каждой фазы:

; ;

; ;

Если нагрузка симметричная (комплексные сопротивления равны по модулю и фазе), то расчет ведется для одной фазы, а мощности можно расcчитать по формулам:

;

Ток в нейтральном проводе в этом случае равен нулю.

Соединение в “треугольник” делается следующим образом (рис. 6.2) конец первой фазы соединяется с началом второй, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой. От начала фаз генератора идут линейные провода. Так как ЭДС (напряжения) фаз генератора сдвинуты по фазе на 120⁰ и равны по модулю, то их векторная сумма равна нулю, и ток в фазах генератора будет определятся током потребителя.

Рис. 6.2

Как видно из схемы соединения, фазные напряжения в данном случае равны линейным:

.

Фазные токи (I_AB, I_BC, I_CA) определяются по закону Ома:

.

Линейные токи (I_A, I_B, I_C) определяются по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С, как векторная разность соответствующих фазных токов:

узел “A” при симметричном режиме;

узел “B” ; ;

узел “C” .

Потребляемая мощность находится суммированием мощностей фаз (как при “звезде”). При симметричной нагрузке формулы для мощности те же самые, что и для соединения в “звезду”.

При включении в трехфазную сеть нескольких потребителей (рис. 6.3) результирующие линейные токи находятся векторным сложением линейных токов потребителей, а мощность – суммированием активных и реактивных мощностей потребителей. Рассчитывается полная мощность по известной формуле: .

Рис. 6.3

Примем, что в соединении “звезда” нагрузка чисто активная и несимметричная, то есть r_A  r_B  r_C, а в “треугольнике” имеется активно-индуктивная симметричная нагрузка . Тогда фазные токи в “звезде” будут по величине различны, а по фазе совпадать со своими фазными напряжениями (U_A, U_B, U_C). Значение тока в нейтрали найдем векторным сложением фазных токов “звезды”. Фазные токи потребителя, соединенного в “треугольник”, отстают от соответствующих фазных напряжений (U_AB, U_BC, U_CA) на угол .

Определив числовые значения фазных токов, линейные токи I_A, I_B, I_C находим векторным построением, а затем так же векторно суммируем их с токами потребителя, соединенного в “звезду”, и находим результирующие линейные токи (рис. 6.4).

Рис. 18

В практических инженерных работах используется, как правило, символический метод.

Примеры решения задач

6.1. Определите ток в нейтральном проводе, если I_a =10 А, I_в =10 А, I_c = 6 А.

Рис. 6.1

Решение. Строим векторную диаграмму напряжений и токов. Так как сопротивления активные, то напряжения и токи совпадают по фазе и сдвинуты на 120⁰, а ток в нейтрале равен векторной сумме фазных токов: . Сначала складываем токи . При этом образуется равносторонний треугольник: токи I_a и I_в равны, а угол при вершине 60⁰, следовательно вектор , а угол между ним и током I_с равен 180⁰, т.е. эти векторы расположены на одной прямой и имеют противоположные направления. Поэтому I_N = 10 – 6 = 4 А (диаграмма 3).

Примечание. Если бы все токи были одинаковы, то I_N = 0 (симметричная нагрузка).

6.2. Определить ток в нейтральном проводе, если I_a = I_в = I_c = 10 А.

Рис. 6.2

Решение. Хотя фазные токи равны по модулю, но эта нагрузка не симметричная: в фазе «а» ток совпадает с напряжением, в фазе «в» отстает от него на 90⁰, а в фазе «с» опережает напряжение на 90⁰. С учетом этого строим векторную диаграмму и определяем ток в нейтральном проводе как векторную сумму фазных токов: .

Анализ построения показывает, что [ + ] находится в противофазе относительно I_a, т.е. сдвиг по фазе между ними равен 180⁰, и количественно в раз больше фазных токов (в треугольнике векторов , , [ + ] угол при вершине равен 120⁰) по теореме косинусов:

[ + ] = , [ + ] = · 10 = 17,3 А, а

I_N = 17,3 – 10 = 7,3 А.

Аналогичный результат получается при символическом изображении токов. Если комплекс тока I_a считать вещественным положительным числом: = I_ae ^jo, то .

6.3. Все амперметры кроме двух показывают одинаковую величину тока 10 А. Какие амперметры показывают другие значения тока и сколько?

Р е ш е н и е. Анализируем схему. Имеем трехфазную, четырехпроводную систему переменного тока. Все резисторы имеют одинаковое сопротивление r и все подключены на фазное напряжение (фаза – ноль). Напряжения одинаковы по модулю и сдвинуты друг относительно друга на 120⁰.

Начиная с конца схемы будем исключать амперметры, показания которых заведомо одинаковые. Во-первых, это амперметры в цепи каждого резистора, т.е. амперметры 5, 6, 7, 8. Кроме того, 12 и 2 включены последовательно с 5-м, а 4-й последовательно с 6-м, а 1-й последовательно с 7-м. Эти амперметры также покажут 10 А.

Через 3-й амперметр ток идет к двум резисторам, включенным параллельно. Значит, этот амперметр покажет 20 А. Теперь разберемся с амперметрами в нейтральном (нулевом) проводе.

Через 11-й амперметр проходят два тока: с фазы «С» и фазы «В». Эти токи сдвинуты по фазе на 120⁰. Складывая их векторы, получим также 10 А. Через 10-й амперметр проходят три тока от трех фаз. Векторная сумма одинаковых по модулю токов, сдвинутых по фазе на 120⁰, равна нулю, т.е. 10-й амперметр показывает ноль. Остается 9-й амперметр. Через него кроме трех предыдущих токов проходит еще ток 8-го амперметра. Значит, он покажет тоже 10 А.

Рис. 6.3

6.4. К трехфазной линии с линейным напряжением U_л под­ключены трехфазный симметричный приемник, соединенный по схеме «треугольник», и группа однофазных приемников, соединен­ных по схеме "звезда" с нейтральным проводом. Полное сопротив­ление фазы симметричного приемника задано в комплексной фор­ме: . Мощности, потребляемые однофазными приемни­ками, равны Р_А, Р_в, Р_С при соsφ = 1. Сопротивление нейтрального провода Z_N пренебрежимо мало.

Определить токи в фазах и в нейтральном проводе.

Дано: U_л = 220 В;

Z_ф = 11 ;

Р_А = 1200 Вт;

Р_В = 2400 Вт;

Р_С = 3600 Вт.

Решение. Находим токи у потребителей, соединенных в «звезду» (Y). Имея в виду, что фазное напряжение в раз меньше линейного: , фазные токи определим по формуле: .

Имеем

Так как в соединении «звезда» потребляется только активная мощность, то сопротивление считается идеальным активным, токи совпадают по фазе с напряжениями.

Ток в нейтральном проводе находим по первому закону Кирхгофа:

.

Сделав это построение в масштабе, находим:

I_N = 16 A.

Для треугольника U_л = U_ф, фазные токи находим по закону Ома , а линейные токи построением:

;

;

.

Так как нагрузка симметричная, а сопротивление имеет активно-индуктивный характер, фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол φ.

Находим фазные токи:

При симметричной нагрузке:

.

(это значение проверим построением векторов фазных токов и убедимся в его правильности). Показания амперметров находим векторным суммированием токов к потребителям:

.

Получаем: I_C = 60 A;

I_B = 50 A;

I_А = 45 A.

Конечно, точность расчета при графическом решении гораздо меньше, чем при решении символически методом.

Рис. 6.4